Änderung des Funktionswerts
Ein Becken enthält nach x Stunden W(x) = 10 − 2x Kubikmeter Wasser. Um wie viel ändert sich W, wenn x um 1 wächst?
Erklärung: W(x + 1) − W(x) = (10 − 2 · (x + 1)) − (10 − 2x) = −2: Das Wasser nimmt jede Stunde um 2 m³ ab. +2 hätte das falsche Vorzeichen, 10 ist der Anfangswert.
Bei f(x) = x² ist der Zuwachs von x = 4 nach x = 5 derselbe wie von x = 0 nach x = 1.
Erklärung: Von 4 nach 5 wächst f um 25 − 16 = 9, von 0 nach 1 nur um 1 − 0 = 1. Bei einer Parabel ist der Zuwachs nicht überall gleich.
Die Gerade ist der Graph einer Funktion. Um wie viel ändert sich y, wenn x von 1 auf 2 wächst (Punkte A und B)?
Erklärung: A liegt in der Höhe 7, B in der Höhe 5: y ändert sich um 5 − 7 = −2. Die Gerade fällt, deshalb ist die Änderung negativ.
Gegeben ist f(x) = 4x − 3. Berechne f(6) − f(5).
Erklärung: f(6) = 21 und f(5) = 17, also f(6) − f(5) = 4. Bei einer Geraden ist das immer der Faktor vor x.
Gegeben ist f(x) = x². Berechne f(6) − f(5).
Erklärung: f(6) = 36 und f(5) = 25, also f(6) − f(5) = 11. Zum Vergleich: Bei f(x) = 4x − 3 wäre der Zuwachs an jeder Stelle 4.
Der Graph gehört zu f(x) = x². Was gilt im Bereich −3 ≤ x ≤ 0?
Erklärung: Links vom Scheitel fällt die Parabel: von x = −3 (f = 9) bis x = 0 (f = 0) sinkt der Funktionswert. Erst rechts von 0 steigt er.
Für f(x) = 6 − 1,5x gilt: Wird x größer, wird auch f(x) größer.
Erklärung: Die Gerade fällt: Mit jedem Schritt in x sinkt f um 1,5. Wachsendes x macht f(x) nicht automatisch größer.
Für welche Funktion wächst f(x), wenn x von −3 auf −2 wächst?
Erklärung: Bei 2x: von −6 auf −4 – der Wert wächst. Bei x²: von 9 auf 4, er sinkt. Bei −2x: von 6 auf 4, er sinkt ebenfalls.
Für f(x) = x² gilt f(−4) = 16. Um wie viel ändert sich f, wenn x von −4 auf −3 wächst? (Berechne f(−3) − f(−4).)
Erklärung: f(−3) = 9 und f(−4) = 16: Die Änderung ist 9 − 16 = −7. Für negative x fällt die Parabel.
Bei f(x) = x² wird x um 1 erhöht. Für wie viele der Stellen −3, −2, −1, 0, 1 und 2 ist dann f(x + 1) < f(x)?
Erklärung: Bei x = −3, −2 und −1 sinkt f (z. B. 9 → 4). Bei x = 0, 1 und 2 steigt f. Also sinkt der Funktionswert an 3 Stellen.
Bei f(x) = x² gilt f(3) = 9. Wie groß ist f(6)?
Erklärung: f(6) = 6² = 36: Verdoppelt man x, vervierfacht sich der Wert. 18 wäre die Verdopplung von 9, 12 ergibt sich aus 9 + 3.
Bei f(x) = 5x wird f(x) doppelt so groß, wenn x doppelt so groß wird.
Erklärung: f(2x) = 5 · 2x = 2 · 5x = 2 · f(x). Das gilt für jede Funktion der Form y = a · x.
Der Graph gehört zu f(x) = x + 4. Was passiert mit dem Funktionswert, wenn x von 2 auf 4 verdoppelt wird (Punkte A und B)?
Erklärung: f(2) = 6 und f(4) = 8. Der Wert wächst, aber weniger als auf das Doppelte: Wegen des „+ 4“ ist f keine Funktion der Form y = a · x.
Bei f(x) = x + 6 ist f(3) = 9. Wie groß ist f(6)?
Erklärung: f(6) = 6 + 6 = 12. Verdoppelt man x von 3 auf 6, wächst der Wert nur von 9 auf 12 – nicht auf 18.
Bei f(x) = x² wird x verdreifacht. Um welchen Faktor wird f(x) dabei größer?
Erklärung: f(3x) = (3x)² = 9x² = 9 · f(x): Der Funktionswert wird 9-mal so groß, nicht 3-mal.
Gegeben sind f(x) = 2x, g(x) = x + 2 und h(x) = x². Stelle eine Wertetabelle für x = 1, 2, 3, 4 auf und berechne die Zuwächse von Spalte zu Spalte. Entscheide dann, bei welcher Funktion sich der Wert verdoppelt, wenn x von 1 auf 2 und von 2 auf 4 verdoppelt wird.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Nur bei f(x) = 2x, einer Funktion der Form y = a · x, verdoppelt sich f mit x. Bei h vervierfacht sich der Wert, bei g wächst er nur um 1 pro Schritt.