Änderung des Funktionswerts

Change of the function value

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben
FunktionenÄnderungsverhaltenGraphen

Wie ändert sich f(x), wenn sich x ändert? Die Station vergleicht f(x + 1) mit f(x): Bei Geraden ist der Zuwachs überall gleich, bei einer Parabel wächst er mit. Ein Graph kann abschnittsweise steigen und fallen, und nur bei y = a · x verdoppelt sich f mit x. Sie räumt „größeres x, größeres f(x)“ und die Verdopplungsillusion aus (Vollrath 1989: Kovariation). Bereitet die Steigung als Änderungsrate, die direkte Proportionalität und später Wachstum und Ableitung vor.

Gleichmäßige Änderung

Ein Tank fasst 6 m³ und verliert 1,5 m³ je Stunde: . Wächst x um 1, ändert sich der Funktionswert jedes Mal um −1,5; diese Änderung heißt Zuwachs Δ. Gleicher Schritt in x, gleicher Zuwachs von V: Das ist typisch für Geraden. Man erkennt es an der Stufe zwischen zwei Punkten P und Q der Kurve, die überall gleich aussieht.

Verschiebe P. Ändert sich der Zuwachs Δ, wenn du an eine andere Stelle gehst?

Steigen und fallen

Bei ist es anders: Von 1 nach 2 wächst f um 3, von 2 nach 3 um 5, von 3 nach 4 um 7. Und links vom Ursprung sinkt f: von −3 nach −2 geht der Wert von 9 auf 4 zurück. Ob ein Graph steigt oder fällt, hängt vom Abschnitt ab. Wächst x, so muss f(x) nicht mitwachsen.

Gehe mit dem Regler von links nach rechts. Wo wechselt das Vorzeichen von Δ?

Wenn x sich verdoppelt

Verdoppelt man x, wird f(x) nicht automatisch doppelt so groß. Bei stimmt es: p(2) = 6, p(4) = 12. Bei wird der Wert sogar vervierfacht: q(2) = 4, q(4) = 16. Und bei wächst er nur von 5 auf 7. Von diesen Beispielen geht nur bei der Form der Wert genau mit x mit – ein erster Hinweis auf die direkte Proportionalität. Dass ein Wert „schneller wächst“, sagt also noch nicht, dass er sich mit x verdoppelt.

Ändere x und vergleiche die beiden Verhältnisse: Welche Kurve verdoppelt, welche vervierfacht den Wert?

Voraussetzungen (1)

Funktionsterm und Funktionswert
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Becken enthält nach x Stunden W(x) = 10 − 2x Kubikmeter Wasser. Um wie viel ändert sich W, wenn x um 1 wächst?

  • ● −2
  • ○ +2
  • ○ 10
W(x + 1) − W(x) = (10 − 2 · (x + 1)) − (10 − 2x) = −2: Das Wasser nimmt jede Stunde um 2 m³ ab. +2 hätte das falsche Vorzeichen, 10 ist der Anfangswert.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei f(x) = x² ist der Zuwachs von x = 4 nach x = 5 derselbe wie von x = 0 nach x = 1.

✓ Falsch
Von 4 nach 5 wächst f um 25 − 16 = 9, von 0 nach 1 nur um 1 − 0 = 1. Bei einer Parabel ist der Zuwachs nicht überall gleich.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Die Gerade ist der Graph einer Funktion. Um wie viel ändert sich y, wenn x von 1 auf 2 wächst (Punkte A und B)?

  • ● −2
  • ○ +2
  • ○ −1
A liegt in der Höhe 7, B in der Höhe 5: y ändert sich um 5 − 7 = −2. Die Gerade fällt, deshalb ist die Änderung negativ.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = x². Was gilt im Bereich −3 ≤ x ≤ 0?

  • ● f(x) wird kleiner, wenn x wächst.
  • ○ f(x) wird größer, wenn x wächst.
  • ○ f(x) bleibt gleich.
Links vom Scheitel fällt die Parabel: von x = −3 (f = 9) bis x = 0 (f = 0) sinkt der Funktionswert. Erst rechts von 0 steigt er.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = 6 − 1,5x gilt: Wird x größer, wird auch f(x) größer.

✓ Falsch
Die Gerade fällt: Mit jedem Schritt in x sinkt f um 1,5. Wachsendes x macht f(x) nicht automatisch größer.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Für welche Funktion wächst f(x), wenn x von −3 auf −2 wächst?

  • ● f(x) = 2x
  • ○ f(x) = x²
  • ○ f(x) = −2x
Bei 2x: von −6 auf −4 – der Wert wächst. Bei x²: von 9 auf 4, er sinkt. Bei −2x: von 6 auf 4, er sinkt ebenfalls.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Bei f(x) = x² gilt f(3) = 9. Wie groß ist f(6)?

  • ● 36
  • ○ 18
  • ○ 12
f(6) = 6² = 36: Verdoppelt man x, vervierfacht sich der Wert. 18 wäre die Verdopplung von 9, 12 ergibt sich aus 9 + 3.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Bei f(x) = 5x wird f(x) doppelt so groß, wenn x doppelt so groß wird.

✓ Wahr
f(2x) = 5 · 2x = 2 · 5x = 2 · f(x). Das gilt für jede Funktion der Form y = a · x.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = x + 4. Was passiert mit dem Funktionswert, wenn x von 2 auf 4 verdoppelt wird (Punkte A und B)?

  • ● Er steigt von 6 auf 8 – er verdoppelt sich nicht.
  • ○ Er verdoppelt sich von 6 auf 12.
  • ○ Er bleibt bei 6.
f(2) = 6 und f(4) = 8. Der Wert wächst, aber weniger als auf das Doppelte: Wegen des „+ 4“ ist f keine Funktion der Form y = a · x.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = 4x − 3. Berechne f(6) − f(5).

✓ Antwort: 4
f(6) = 21 und f(5) = 17, also f(6) − f(5) = 4. Bei einer Geraden ist das immer der Faktor vor x.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für f(x) = x² gilt f(−4) = 16. Um wie viel ändert sich f, wenn x von −4 auf −3 wächst? (Berechne f(−3) − f(−4).)

✓ Antwort: -7
f(−3) = 9 und f(−4) = 16: Die Änderung ist 9 − 16 = −7. Für negative x fällt die Parabel.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bei f(x) = x + 6 ist f(3) = 9. Wie groß ist f(6)?

✓ Antwort: 12
f(6) = 6 + 6 = 12. Verdoppelt man x von 3 auf 6, wächst der Wert nur von 9 auf 12 – nicht auf 18.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = x². Berechne f(6) − f(5).

✓ Antwort: 11
f(6) = 36 und f(5) = 25, also f(6) − f(5) = 11. Zum Vergleich: Bei f(x) = 4x − 3 wäre der Zuwachs an jeder Stelle 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei f(x) = x² wird x um 1 erhöht. Für wie viele der Stellen −3, −2, −1, 0, 1 und 2 ist dann f(x + 1) < f(x)?

✓ Antwort: 3
Bei x = −3, −2 und −1 sinkt f (z. B. 9 → 4). Bei x = 0, 1 und 2 steigt f. Also sinkt der Funktionswert an 3 Stellen.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bei f(x) = x² wird x verdreifacht. Um welchen Faktor wird f(x) dabei größer?

✓ Antwort: 9
f(3x) = (3x)² = 9x² = 9 · f(x): Der Funktionswert wird 9-mal so groß, nicht 3-mal.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben sind f(x) = 2x, g(x) = x + 2 und h(x) = x². Stelle eine Wertetabelle für x = 1, 2, 3, 4 auf und berechne die Zuwächse von Spalte zu Spalte. Entscheide dann, bei welcher Funktion sich der Wert verdoppelt, wenn x von 1 auf 2 und von 2 auf 4 verdoppelt wird. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f: 2, 4, 6, 8 (Zuwächse 2, 2, 2); g: 3, 4, 5, 6 (Zuwächse 1, 1, 1); h: 1, 4, 9, 16 (Zuwächse 3, 5, 7). Von x = 1 auf 2 verdoppelt sich nur f (2 → 4); g wächst von 3 auf 4, h von 1 auf 4 (vervierfacht). Von x = 2 auf 4 ebenso: f 4 → 8, g 4 → 6, h 4 → 16. Nur f(x) = 2x verdoppelt sich mit x.
Nur bei f(x) = 2x, einer Funktion der Form y = a · x, verdoppelt sich f mit x. Bei h vervierfacht sich der Wert, bei g wächst er nur um 1 pro Schritt.