Eindeutige Zuordnungen
Welche Zuordnung ist eine Funktion?
Erklärung: Jedes Auto trägt genau ein Kennzeichen: Zu jedem x gehört genau ein y. Ein Buch kann mehrere Autorinnen und Autoren haben, und eine Zahl hat meist mehrere Teiler.
Im Pfeildiagramm wird jeder Zahl links ihre letzte Ziffer zugeordnet. Das ist eine Funktion.
Erklärung: Von jeder Zahl links geht genau ein Pfeil aus. Dass 12 und 22 beide auf die 2 zeigen, stört nicht: Die Eindeutigkeit betrifft die x-Werte.
Ein Pfeildiagramm gehört zu einer Funktion und hat die x-Werte 1, 2, 3 und 4. Wie viele Pfeile hat es insgesamt?
Erklärung: Von jedem x geht genau ein Pfeil aus: vier x-Werte, vier Pfeile – nicht weniger und nicht mehr. Wie viele Pfeile bei einem y ankommen, ist dafür unerheblich.
Ein Pfeildiagramm hat die x-Werte 1, 2, 3 und 4. Von 1 geht ein Pfeil aus, von 2 gehen zwei Pfeile aus, von 3 einer und von 4 einer. Wie viele Pfeile muss man mindestens entfernen, damit eine Funktion entsteht?
Erklärung: Nur von x = 2 gehen zu viele Pfeile aus (zwei statt einem). Entfernt man einen davon, hat jedes x genau einen Pfeil.
Welche Wertetabelle gehört zu einer Funktion?
Erklärung: In der ersten Tabelle hat jedes x genau einen y-Wert – dass alle y gleich sind, ist erlaubt. In der zweiten gehören zu x = 2 die Werte 3 und 4, in der dritten zu x = 1 die Werte 2 und 3.
Die Tabelle gehört zu einer Funktion.
Erklärung: Das x = 5 kommt zweimal vor, einmal mit y = 3 und einmal mit y = 6. Zu x = 5 gehören also zwei y-Werte: keine Funktion.
Gegeben sind die Paare (1 | 3), (2 | 5), (3 | 3), (4 | 7) und (5 | 5). Bei wie vielen x-Werten gibt es zwei verschiedene y-Werte?
Erklärung: Jedes x kommt nur einmal vor. Dass 3 und 5 als y-Werte mehrfach auftauchen, spielt keine Rolle. Es liegt eine Funktion vor.
Gegeben sind die Paare (1 | 4), (2 | 6), (3 | 8) und (2 | k). Für welche Zahl k ist die Zuordnung eine Funktion?
Erklärung: Das x = 2 steht schon mit y = 6 in der Tabelle. Damit zu x = 2 nur ein y-Wert gehört, muss k = 6 sein.
Anna und Ben tragen beide Schuhgröße 40. Was folgt für die Zuordnung Person → Schuhgröße?
Erklärung: Jede Person hat genau eine Schuhgröße, das ist die Bedingung. Dass zwei Personen dieselbe Größe haben, ist erlaubt: Zwei Pfeile dürfen am selben y enden.
Die Zuordnung x → 5 ordnet jeder Zahl den Wert 5 zu. Das ist keine Funktion, weil alle y-Werte gleich sind.
Erklärung: Zu jedem x gehört genau ein y (immer die 5). Dass alle y-Werte gleich sind, verletzt nichts: Es ist eine Funktion.
Bei der Funktion f(x) = x² gehört zu x = 3 der Wert y = 9. Welche Zahl x zwischen −5 und 0 gehört zu demselben Wert y = 9?
Erklärung: Es ist (−3)² = 9. Zwei verschiedene x-Werte, 3 und −3, führen zum selben y-Wert 9 – das ist erlaubt.
Wie viele der x-Werte −2, −1, 0, 1 und 2 gehören bei f(x) = x² zum y-Wert 1?
Erklärung: Es ist (−1)² = 1 und 1² = 1; die übrigen Quadrate sind 4, 0 und 4. Also gehören zwei x-Werte zu y = 1.
Die Kurve ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius 3. Kann sie der Graph einer Funktion sein?
Erklärung: Die senkrechte Gerade x = 0 trifft den Kreis in (0 | 3) und (0 | −3). Zu einem x gehören zwei y-Werte, also keine Funktion. Wie glatt eine Kurve ist, entscheidet nichts.
Die Kurve ist der Graph einer Funktion.
Erklärung: Jede senkrechte Gerade trifft die Kurve höchstens einmal. Es ist der Graph von y = √x: Zu jedem x ≥ 0 gehört genau ein y.
Die gestrichelte senkrechte Gerade x = 1 schneidet den Graphen ___ mal. (Zahl)
Erklärung: Eine senkrechte Gerade trifft den Graphen einer Funktion höchstens einmal – hier genau einmal, bei y = −0,75. Dass der Graph die x-Achse dreimal schneidet, gehört nicht zu diesem Test.
Ein Kreis um den Ursprung hat den Radius 5. Für welche positive Zahl a berührt die senkrechte Gerade x = a den Kreis genau einmal?
Erklärung: Am rechten Rand des Kreises, bei x = 5, gibt es nur den Punkt (5 | 0). Für kleinere a schneidet die Gerade den Kreis zweimal, für größere gar nicht.
Die Zuordnung ordnet jeder Zahl x alle Zahlen y zu, für die y² = x gilt. Bestimme für x = 0, 1, 4 und 9 alle y-Werte, zeichne ein Pfeildiagramm und begründe, ob eine Funktion vorliegt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zu 1, 4 und 9 gehören je zwei y-Werte (positive und negative Wurzel): Das verletzt die Eindeutigkeit. Erst mit y = √x (nur die positive Wurzel) wird es eine Funktion.
Ist diese Zuordnung eine Funktion?
x: 1, 2, 3, 2
y: 4, 5, 6, 7
Nein: zu x = 2 gehören 5 und 7.
Ist diese Zuordnung eine Funktion?
x: 5, 6, 5, 8
y: 1, 2, 3, 4
Nein: zu x = 5 gehören 1 und 3.
Ist diese Zuordnung eine Funktion?
x: 1, 2, 3
y: 5, 5, 5
Ja: jedes x hat genau einen y-Wert. Gleiche y-Werte sind erlaubt.
Ist diese Zuordnung eine Funktion?
x: 4, 6, 8
y: 0, 1, 0
Ja: jedes x hat genau einen y-Wert. Dass 4 und 8 beide 0 haben, ist erlaubt.
Welcher x-Wert hat in dieser Tabelle zwei y-Werte?
x: 2, 4, 6, 4
y: 1, 3, 5, 7
Zu x = 4 gehören 3 und 7. Darum ist die Zuordnung keine Funktion.
Welcher x-Wert hat in dieser Tabelle zwei y-Werte?
x: 3, 9, 1, 9
y: 2, 2, 0, 5
Zu x = 9 gehören 2 und 5. Darum ist die Zuordnung keine Funktion.
Ein Kreis um den Ursprung: Ist er der Graph einer Funktion?
Nein: zu x = 0 gehören zwei Punkte des Kreises, oben und unten.
Eine senkrechte Gerade x = 2: Ist sie der Graph einer Funktion?
Nein: zu x = 2 gehören unendlich viele y-Werte.
Welche Zuordnung ist eine Funktion?
Jedes Kind hat genau einen Geburtstag. An einem Tag können mehrere Kinder Geburtstag haben, und eine Zahl hat zwei Wurzeln.
Welche Zuordnung ist eine Funktion?
Jedes Fahrrad hat genau ein Gewicht. Zu einem Besitzer können mehrere Räder gehören, und eine Farbe haben viele Räder.