Ableiten mit Parameter
Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = x³ − 3a·x nach x?
Erklärung: a ist beim Ableiten nach x eine feste Zahl: (3a·x)′ = 3a. 3x² − 3a − 3x entsteht, wenn (3a·x)′ wie ein Produkt zweier Variablen zu 3a + 3x abgeleitet wird; in der dritten Antwort wurde der Term −3a·x gar nicht abgeleitet.
Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = a·x² nach x?
Erklärung: Der Faktor a bleibt stehen: (a·x²)′ = a · 2x = 2a·x. Fällt a weg, fehlt der Faktor; wird a mitabgeleitet, entsteht der Zusatz x².
Bei f_a(x) = a·x³ gilt f_a′(x) = 3a·x².
Erklärung: a ist eine feste Zahl und bleibt als Faktor: (a·x³)′ = a · 3x² = 3a·x².
Für f_a(x) = a·x³ mit a = 4 ist f_a′(x) = c·x². Wie groß ist c?
Erklärung: f_a′(x) = 3a·x², bei a = 4 also 12·x². Der Faktor ist c = 12.
Berechne f_a′(2) für f_a(x) = x³ − 3a·x mit a = 2.
Erklärung: f_a′(x) = 3x² − 3a. Für a = 2 und x = 2: 3 · 4 − 6 = 6.
Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = x² + a nach x?
Erklärung: a ist ein Summand ohne x, also eine Konstante: Sie fällt weg. Mit +a bleibt sie fälschlich stehen, mit +1 wird a wie eine Variable abgeleitet.
Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = a·x nach x?
Erklärung: Der Faktor a bleibt: (a·x)′ = a · 1 = a. Die Antwort x würde a statt x ableiten, a + x wendet eine Produktregel an, als hinge a von x ab.
Die Abbildung zeigt g_a(x) = x² + a für a = 0 und a = 3, jeweils mit dem Punkt bei x = 1. Die Tangenten in diesen beiden Punkten sind parallel.
Erklärung: g_a′(x) = 2x: Der Summand a fällt beim Ableiten weg, die Steigung bei x = 1 ist für jedes a gleich 2. Gleiche Steigung heißt parallele Tangenten.
Für f_a(x) = x³ + a² gilt f_a′(x) = 3x² + 2a.
Erklärung: a² ist ein Summand ohne x und damit eine Konstante. Ihre Ableitung ist 0: f_a′(x) = 3x².
Für f_a(x) = x³ + 7a gilt f_a′(x) = 3x² + ___.
Erklärung: 7a ist ein Summand ohne x, eine Konstante. Ihre Ableitung ist 0.
Berechne f_a′(1) für f_a(x) = 4x³ + a²·x − a mit a = 2.
Erklärung: f_a′(x) = 12x² + a² (a²·x hat den Faktor a², −a fällt weg). Bei x = 1 und a = 2: 12 + 4 = 16.
Wie groß ist die Steigung von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 1?
Erklärung: f_a′(x) = 3x² − 3a; bei x = 1 ist f_a′(1) = 3 − 3a. 1 − 3a ist der Funktionswert f_a(1), nicht die Steigung. 3x² − 3a lässt x stehen.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit waagerechter Tangente im Punkt P bei x = 1. Welchen Wert hat a?
Erklärung: Waagerecht heißt Steigung 0: f_a′(1) = 3 − 3a = 0, also a = 1. Bei a = 0 wäre die Steigung 3; a = 3 entsteht, wenn bei 3a = 3 nicht durch 3 geteilt wird.
Die Abbildung zeigt f_2(x) = x³ − 6x mit der Tangente im Ursprung. Die Steigung dieser Tangente ist −3a = −6.
Erklärung: f_a′(0) = 3 · 0² − 3a = −3a, für a = 2 also −6. Die Tangente fällt steil, wie in der Abbildung.
Die Steigung von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 1 ist 1 − 3a.
Erklärung: 1 − 3a ist der Funktionswert f_a(1). Die Steigung ist f_a′(1) = 3 − 3a.
Berechne die Steigung von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 1 für a = 2.
Erklärung: f_a′(1) = 3 − 3a = 3 − 6 = −3.
Für welchen Wert von a hat der Graph von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 2 die Steigung 3?
Erklärung: f_a′(2) = 12 − 3a = 3, also 3a = 9 und a = 3.
Gegeben ist die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Leite f_a nach x ab. Bestimme a so, dass der Graph bei x = 2 die Steigung 3 hat, und gib den zugehörigen Punkt des Graphen bei x = 2 an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst nach x ableiten (a bleibt Konstante), dann x = 2 in die Ableitung einsetzen und nach a lösen. Der y-Wert des Punkts kommt aus f_3, nicht aus f_3′.