Ableiten mit Parameter

Differentiating with a parameter

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisAbleitungenParameter

Beim Ableiten nach x ist der Parameter a eine feste Zahl: (a·x²)′ = 2a·x, (x³ − 3a·x)′ = 3x² − 3a, und ein Summand ohne x wie a oder a² fällt weg. Setzt man eine Stelle ein, ist f_a′(x₀) die Steigung von f_a bei x₀ und ein Term in a; eine Bedingung an die Steigung legt a fest. Der Abschnitt räumt aus, a mitzuableiten ((a·x)′ = a + x, (a²)′ = 2a) und a als Summand stehen zu lassen. Er bereitet die Extremstellen der Schar vor.

Der Parameter bleibt Konstante

Abgeleitet wird immer nach der Variablen x. Den Parameter a behandelst du dabei wie eine feste Zahl. In $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x$ ist $3 a$ nur ein Zahlenfaktor vor x, wie die 6 in $x^{3} - 6 x$ :

$f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a$

Falsch wäre $(a x)^{'} = a + x$ ; das würde a wie eine zweite Variable ableiten.

Die Stelle von a entscheidet: Als Faktor bleibt a stehen, $(a x)^{'} = a$ . Als Summand ohne x ist a eine Konstante und fällt weg, $(x^{2} + a)^{'} = 2 x$ ; ebenso $(x^{3} + a^{2})^{'} = 3 x^{2}$ , nicht $3 x^{2} + 2 a$ .

Zur Kontrolle setze eine Zahl ein: Für $a = 2$ ist $f_{2} (x) = x^{3} - 6 x$ mit der Ableitung $3 x^{2} - 6$ , und das ist genau $f_{a}^{'} (x)$ für a = 2. Der Parameter verhält sich beim Ableiten wie die 6 in $x^{3} - 6 x$ .

Verändere a und x₀. Stimmt die gemessene Steigung immer mit 3x₀² − 3a überein?

Die Steigung an einer Stelle

Setzt du in $f_{a}^{'} (x)$ eine Stelle ein, erhältst du die Steigung von $f_{a}$ dort, als Term in a:

$f_{a}^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} - 3 a = 3 - 3 a$

Für $a = 0$ ist die Steigung 3, für $a = 2$ ist sie −3. Eine Bedingung an die Steigung legt a fest: Soll die Tangente bei $x = 1$ waagerecht sein, muss $3 - 3 a = 0$ gelten, also $a = 1$ .

Wichtig ist die Reihenfolge: erst ableiten, dann die Stelle einsetzen. Aus $f_{a}^{'} (1) = 3 - 3 a$ liest du außerdem ab: Wächst a um 1, sinkt die Steigung bei x = 1 um 3.

Bei welchem a liegt die Tangente in P waagerecht?

Voraussetzungen (1)

Scharen und Parameter

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Extrempunkte der Schar

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = x³ − 3a·x nach x?

● f_a′(x) = 3x² − 3a
○ f_a′(x) = 3x² − 3a − 3x
○ f_a′(x) = 3x² − 3a·x

a ist beim Ableiten nach x eine feste Zahl: (3a·x)′ = 3a. 3x² − 3a − 3x entsteht, wenn (3a·x)′ wie ein Produkt zweier Variablen zu 3a + 3x abgeleitet wird; in der dritten Antwort wurde der Term −3a·x gar nicht abgeleitet.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = a·x² nach x?

● f_a′(x) = 2a·x
○ f_a′(x) = 2x
○ f_a′(x) = x² + 2a·x

Der Faktor a bleibt stehen: (a·x²)′ = a · 2x = 2a·x. Fällt a weg, fehlt der Faktor; wird a mitabgeleitet, entsteht der Zusatz x².

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Bei f_a(x) = a·x³ gilt f_a′(x) = 3a·x².

✓ Wahr

a ist eine feste Zahl und bleibt als Faktor: (a·x³)′ = a · 3x² = 3a·x².

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = x² + a nach x?

● f_a′(x) = 2x
○ f_a′(x) = 2x + a
○ f_a′(x) = 2x + 1

a ist ein Summand ohne x, also eine Konstante: Sie fällt weg. Mit +a bleibt sie fälschlich stehen, mit +1 wird a wie eine Variable abgeleitet.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f_a(x) = a·x nach x?

● f_a′(x) = a
○ f_a′(x) = x
○ f_a′(x) = a + x

Der Faktor a bleibt: (a·x)′ = a · 1 = a. Die Antwort x würde a statt x ableiten, a + x wendet eine Produktregel an, als hinge a von x ab.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt g_a(x) = x² + a für a = 0 und a = 3, jeweils mit dem Punkt bei x = 1. Die Tangenten in diesen beiden Punkten sind parallel.

✓ Wahr

g_a′(x) = 2x: Der Summand a fällt beim Ableiten weg, die Steigung bei x = 1 ist für jedes a gleich 2. Gleiche Steigung heißt parallele Tangenten.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für f_a(x) = x³ + a² gilt f_a′(x) = 3x² + 2a.

✓ Falsch

a² ist ein Summand ohne x und damit eine Konstante. Ihre Ableitung ist 0: f_a′(x) = 3x².

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wie groß ist die Steigung von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 1?

● 3 − 3a
○ 1 − 3a
○ 3x² − 3a

f_a′(x) = 3x² − 3a; bei x = 1 ist f_a′(1) = 3 − 3a. 1 − 3a ist der Funktionswert f_a(1), nicht die Steigung. 3x² − 3a lässt x stehen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit waagerechter Tangente im Punkt P bei x = 1. Welchen Wert hat a?

● a = 1
○ a = 0
○ a = 3

Waagerecht heißt Steigung 0: f_a′(1) = 3 − 3a = 0, also a = 1. Bei a = 0 wäre die Steigung 3; a = 3 entsteht, wenn bei 3a = 3 nicht durch 3 geteilt wird.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt f_2(x) = x³ − 6x mit der Tangente im Ursprung. Die Steigung dieser Tangente ist −3a = −6.

✓ Wahr

f_a′(0) = 3 · 0² − 3a = −3a, für a = 2 also −6. Die Tangente fällt steil, wie in der Abbildung.

Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Die Steigung von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 1 ist 1 − 3a.

✓ Falsch

1 − 3a ist der Funktionswert f_a(1). Die Steigung ist f_a′(1) = 3 − 3a.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für f_a(x) = a·x³ mit a = 4 ist f_a′(x) = c·x². Wie groß ist c?

✓ Antwort: 12

f_a′(x) = 3a·x², bei a = 4 also 12·x². Der Faktor ist c = 12.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Für f_a(x) = x³ + 7a gilt f_a′(x) = 3x² + ___.

✓ Antwort: 0

7a ist ein Summand ohne x, eine Konstante. Ihre Ableitung ist 0.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne die Steigung von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 1 für a = 2.

✓ Antwort: -3

f_a′(1) = 3 − 3a = 3 − 6 = −3.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne f_a′(2) für f_a(x) = x³ − 3a·x mit a = 2.

✓ Antwort: 6

f_a′(x) = 3x² − 3a. Für a = 2 und x = 2: 3 · 4 − 6 = 6.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne f_a′(1) für f_a(x) = 4x³ + a²·x − a mit a = 2.

✓ Antwort: 16

f_a′(x) = 12x² + a² (a²·x hat den Faktor a², −a fällt weg). Bei x = 1 und a = 2: 12 + 4 = 16.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Für welchen Wert von a hat der Graph von f_a(x) = x³ − 3a·x bei x = 2 die Steigung 3?

✓ Antwort: 3

f_a′(2) = 12 − 3a = 3, also 3a = 9 und a = 3.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Leite f_a nach x ab. Bestimme a so, dass der Graph bei x = 2 die Steigung 3 hat, und gib den zugehörigen Punkt des Graphen bei x = 2 an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f_a′(x) = 3x² − 3a. Bedingung: f_a′(2) = 12 − 3a = 3, also a = 3. Für a = 3 ist f_3(x) = x³ − 9x und f_3(2) = 8 − 18 = −10; der Punkt ist (2 | −10).

Erst nach x ableiten (a bleibt Konstante), dann x = 2 in die Ableitung einsetzen und nach a lösen. Der y-Wert des Punkts kommt aus f_3, nicht aus f_3′.