Extrempunkte der Schar
Welche Gleichung liefert die möglichen Extremstellen von f_a(x) = x³ − 3a·x?
Erklärung: Eine Extremstelle braucht die Steigung 0, also f_a′(x) = 3x² − 3a = 0. x³ − 3a·x = 0 liefert die Nullstellen, 6x = 0 die zweite Ableitung (mögliche Wendestelle).
Welche Lösungen hat 3x² − 3a = 0 für a = 4?
Erklärung: x² = a = 4 hat die zwei Lösungen ±2. Nur +2 zu notieren vergisst die negative Lösung, ±4 verwechselt x² = a mit x = ±a.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Sein Tiefpunkt liegt bei x = 3. Welchen Wert hat a?
Erklärung: Extremstelle bei x = 3: f_a′(3) = 27 − 3a = 0, also a = 9 (aus x² = a). a = 3 folgt aus der Nullstellenformel x² = 3a, a = 27 entsteht, wenn 27 = 3a nicht durch 3 geteilt wird.
Für a = 25 hat f_a(x) = x³ − 3a·x zwei mögliche Extremstellen ±s. Wie groß ist s?
Erklärung: 3x² − 75 = 0 gibt x² = 25, also s = 5.
Für welchen Wert von a hat f_a(x) = x³ − 3a·x eine Extremstelle bei x = 4?
Erklärung: Bedingung f_a′(4) = 48 − 3a = 0, also a = 16. Dann ist x² = a = 16.
Der abgebildete Graph gehört zu einer Funktion der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Welche Werte von a sind möglich?
Erklärung: Der Graph steigt überall und hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Das gibt es für a < 0 und a = 0, also a ≤ 0. Für a > 0 gäbe es zwei Extrempunkte, und a ≥ 0 würde diese Werte mit einschließen.
Wie viele Extrempunkte hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = −4?
Erklärung: f_a′(x) = 3x² + 12 ist überall positiv, es gibt keine waagerechte Tangente. Zwei Extrempunkte gäbe es für a > 0; einen einzelnen Extrempunkt hat keine Funktion dieser Schar.
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung f_a′ für ein a der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Wie viele Extrempunkte hat f_a?
Erklärung: f_a′ berührt die x-Achse nur bei x = 0 und bleibt sonst positiv: Die Steigung von f_a ist dort 0, wechselt aber nicht das Vorzeichen, also kein Extrempunkt (es ist a = 0). Ein Extrempunkt bräuchte einen Vorzeichenwechsel von f_a′; zwei gäbe es bei zwei Schnittstellen mit der x-Achse.
Wie viele Extrempunkte hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 2?
Erklärung: Für a > 0 gibt es zwei Extrempunkte, hier bei x = ±√2.
Für wie viele der Werte a = −3, −2, −1, 0, 1 hat f_a(x) = x³ − 3a·x keinen Extrempunkt?
Erklärung: Keinen Extrempunkt gibt es für a ≤ 0, also für −3, −2, −1 und 0. Nur für a = 1 gibt es zwei.
Wie lautet der Tiefpunkt von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 4?
Erklärung: Tiefpunkt bei x = √4 = 2 (dort ist f_a″ = 12 > 0). y-Wert: f_4(2) = 8 − 24 = −16. Die 0 entsteht, wenn man x in f_a′ statt in f_a einsetzt, (−2 | 16) ist der Hochpunkt.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 4. Welche Koordinaten hat der Hochpunkt H?
Erklärung: H liegt bei x = −√4 = −2, der y-Wert ist f_4(−2) = −8 + 24 = 16. (−2 | 0) setzt x in f_4′ statt in f_4 ein, (2 | 16) verwechselt die Seite.
Für a > 0 liegt bei x = √a ein Tiefpunkt von f_a(x) = x³ − 3a·x, weil f_a″(√a) = 6√a positiv ist.
Erklärung: Positive zweite Ableitung heißt Linkskurve, also Tiefpunkt. Bei x = −√a ist f_a″ negativ: Hochpunkt.
Der Hochpunkt von f_a(x) = x³ − 3a·x mit a > 0 liegt bei x = √a.
Erklärung: Bei x = √a ist f_a″ = 6√a > 0, dort liegt der Tiefpunkt. Der Hochpunkt liegt bei x = −√a.
Wie groß ist die y-Koordinate des Hochpunkts von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 1?
Erklärung: Der Hochpunkt liegt bei x = −1: f_1(−1) = −1 + 3 = 2.
Berechne die y-Koordinate des Tiefpunkts von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 9.
Erklärung: Tiefpunkt bei x = √9 = 3: f_9(3) = 27 − 81 = −54. Kontrolle mit −2a√a = −2 · 9 · 3 = −54.
Bestimme für die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit a > 0 die Extrempunkte in Abhängigkeit von a. Gib jeweils an, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Ableitung gleich 0 gibt die Stellen, f_a″ die Art, und die y-Werte folgen aus f_a. Kontrolle mit a = 4: H(−2 | 16), T(2 | −16).