Extrempunkte der Schar

Extreme points of the family

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

AnalysisExtremaParameter

Die Extremstellen einer Schar folgen aus f_a′(x) = 0 und sind Terme in a: Aus 3x² − 3a = 0 wird x = ±√a. Ob es sie gibt, hängt von a ab (nur für a > 0), die Art folgt aus f_a″(x) = 6x, und den y-Wert setzt man in f_a ein: H(−√a | 2a·√a), T(√a | −2a·√a). Der Abschnitt räumt aus, für a ≤ 0 trotzdem zwei Extrempunkte anzugeben, nur +√a zu notieren und den y-Wert in f_a′ statt in f_a auszurechnen. Er bereitet Ortskurven und Parameterbedingungen der Analysis in Jahrgangsstufe 13 vor.

Extremstellen in Abhängigkeit von a

Eine Extremstelle braucht die Steigung 0, also $f_{a}^{'} (x) = 0$ . Aus $f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a$ folgt $x^{2} = a$ und damit

$x = - a oder x = a$

Die Art liefert $f_{a}^{''} (x) = 6 x$ : bei $x = a$ positiv (Tiefpunkt), bei $x = - a$ negativ (Hochpunkt).

Den y-Wert setzt du in f_a ein, nicht in die Ableitung: $f_{a} (a) = a a - 3 a a = - 2 a a$ . Also H(−√a | 2a√a) und T(√a | −2a√a). Für $a = 4$ sind das H(−2 | 16) und T(2 | −16).

Kontrolliere mit einem Wert: Für $a = 1$ liegen die Extremstellen bei ±1, für $a = 4$ bei ±2, für $a = 9$ bei ±3. Die Extrempunkte rücken also mit wachsendem a nach außen und von der x-Achse weg.

Vergrößere a. Wie wandern Hoch- und Tiefpunkt, und welche Koordinate wächst schneller?

Wenn es keine Extrempunkte gibt

Die Gleichung $x^{2} = a$ hat nur für $a > 0$ zwei Lösungen. Für $a < 0$ ist $f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a$ überall positiv: Der Graph steigt ohne waagerechte Tangente, es gibt keinen Extrempunkt.

Für $a = 0$ ist $f_{0}^{'} (0) = 0$ , doch die Steigung wechselt nicht ihr Vorzeichen: Auch dort liegt kein Extrempunkt. Die Antwort lautet daher: Extrempunkte gibt es nur für $a > 0$ .

Eine Fallunterscheidung ist deshalb kein Zusatz, sondern Teil der Antwort: Sie sagt, für welche a die Frage überhaupt eine Lösung hat. Schreibe daher immer dazu, ob a positiv, null oder negativ ist.

Beide Graphen steigen überall. Woran sieht man an der Ableitung, dass sie keinen Hoch- oder Tiefpunkt haben?

Voraussetzungen (2)

Nullstellen und feste Punkte

Klasse 12

›

Ableiten mit Parameter

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Gleichung liefert die möglichen Extremstellen von f_a(x) = x³ − 3a·x?

● 3x² − 3a = 0
○ x³ − 3a·x = 0
○ 6x = 0

Eine Extremstelle braucht die Steigung 0, also f_a′(x) = 3x² − 3a = 0. x³ − 3a·x = 0 liefert die Nullstellen, 6x = 0 die zweite Ableitung (mögliche Wendestelle).

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Lösungen hat 3x² − 3a = 0 für a = 4?

● x = −2 und x = 2
○ nur x = 2
○ x = −4 und x = 4

x² = a = 4 hat die zwei Lösungen ±2. Nur +2 zu notieren vergisst die negative Lösung, ±4 verwechselt x² = a mit x = ±a.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Sein Tiefpunkt liegt bei x = 3. Welchen Wert hat a?

● a = 9
○ a = 3
○ a = 27

Extremstelle bei x = 3: f_a′(3) = 27 − 3a = 0, also a = 9 (aus x² = a). a = 3 folgt aus der Nullstellenformel x² = 3a, a = 27 entsteht, wenn 27 = 3a nicht durch 3 geteilt wird.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu einer Funktion der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Welche Werte von a sind möglich?

● a ≤ 0
○ a > 0
○ a ≥ 0

Der Graph steigt überall und hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Das gibt es für a < 0 und a = 0, also a ≤ 0. Für a > 0 gäbe es zwei Extrempunkte, und a ≥ 0 würde diese Werte mit einschließen.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie viele Extrempunkte hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = −4?

● keine
○ zwei
○ einen

f_a′(x) = 3x² + 12 ist überall positiv, es gibt keine waagerechte Tangente. Zwei Extrempunkte gäbe es für a > 0; einen einzelnen Extrempunkt hat keine Funktion dieser Schar.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung f_a′ für ein a der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Wie viele Extrempunkte hat f_a?

● keinen
○ einen
○ zwei

f_a′ berührt die x-Achse nur bei x = 0 und bleibt sonst positiv: Die Steigung von f_a ist dort 0, wechselt aber nicht das Vorzeichen, also kein Extrempunkt (es ist a = 0). Ein Extrempunkt bräuchte einen Vorzeichenwechsel von f_a′; zwei gäbe es bei zwei Schnittstellen mit der x-Achse.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie lautet der Tiefpunkt von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 4?

● (2 | −16)
○ (2 | 0)
○ (−2 | 16)

Tiefpunkt bei x = √4 = 2 (dort ist f_a″ = 12 > 0). y-Wert: f_4(2) = 8 − 24 = −16. Die 0 entsteht, wenn man x in f_a′ statt in f_a einsetzt, (−2 | 16) ist der Hochpunkt.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 4. Welche Koordinaten hat der Hochpunkt H?

● (−2 | 16)
○ (−2 | 0)
○ (2 | 16)

H liegt bei x = −√4 = −2, der y-Wert ist f_4(−2) = −8 + 24 = 16. (−2 | 0) setzt x in f_4′ statt in f_4 ein, (2 | 16) verwechselt die Seite.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für a > 0 liegt bei x = √a ein Tiefpunkt von f_a(x) = x³ − 3a·x, weil f_a″(√a) = 6√a positiv ist.

✓ Wahr

Positive zweite Ableitung heißt Linkskurve, also Tiefpunkt. Bei x = −√a ist f_a″ negativ: Hochpunkt.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Der Hochpunkt von f_a(x) = x³ − 3a·x mit a > 0 liegt bei x = √a.

✓ Falsch

Bei x = √a ist f_a″ = 6√a > 0, dort liegt der Tiefpunkt. Der Hochpunkt liegt bei x = −√a.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für a = 25 hat f_a(x) = x³ − 3a·x zwei mögliche Extremstellen ±s. Wie groß ist s?

✓ Antwort: 5

3x² − 75 = 0 gibt x² = 25, also s = 5.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Wie viele Extrempunkte hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 2?

✓ Antwort: 2

Für a > 0 gibt es zwei Extrempunkte, hier bei x = ±√2.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie groß ist die y-Koordinate des Hochpunkts von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 1?

✓ Antwort: 2

Der Hochpunkt liegt bei x = −1: f_1(−1) = −1 + 3 = 2.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für welchen Wert von a hat f_a(x) = x³ − 3a·x eine Extremstelle bei x = 4?

✓ Antwort: 16

Bedingung f_a′(4) = 48 − 3a = 0, also a = 16. Dann ist x² = a = 16.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für wie viele der Werte a = −3, −2, −1, 0, 1 hat f_a(x) = x³ − 3a·x keinen Extrempunkt?

✓ Antwort: 4

Keinen Extrempunkt gibt es für a ≤ 0, also für −3, −2, −1 und 0. Nur für a = 1 gibt es zwei.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne die y-Koordinate des Tiefpunkts von f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 9.

✓ Antwort: -54

Tiefpunkt bei x = √9 = 3: f_9(3) = 27 − 81 = −54. Kontrolle mit −2a√a = −2 · 9 · 3 = −54.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Bestimme für die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit a > 0 die Extrempunkte in Abhängigkeit von a. Gib jeweils an, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f_a′(x) = 3x² − 3a = 0 gibt x = −√a oder x = √a. f_a″(x) = 6x ist bei x = √a positiv (Tiefpunkt), bei x = −√a negativ (Hochpunkt). y-Wert: f_a(√a) = a√a − 3a√a = −2a√a, f_a(−√a) = 2a√a. Hochpunkt H(−√a | 2a√a), Tiefpunkt T(√a | −2a√a).

Ableitung gleich 0 gibt die Stellen, f_a″ die Art, und die y-Werte folgen aus f_a. Kontrolle mit a = 4: H(−2 | 16), T(2 | −16).