Vom Graphen von f zu F
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x² − 1. F ist eine Stammfunktion von f. Was gilt für F bei x = 0?
Erklärung: F′(0) = f(0) = −1 < 0: F fällt. Der Wert −1 ist die Steigung von F, nicht ihre Höhe, und waagerecht wäre die Tangente nur bei f(0) = 0.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f mit dem Punkt P(2 | 3). Welche Steigung hat eine Stammfunktion F bei x = 2?
Erklärung: F′(2) = f(2) = 3: Die Höhe des Punkts P ist die Steigung von F. Die Zahl 2 ist die Stelle, nicht die Steigung; −3 hätte das falsche Vorzeichen.
Für f(x) = x² − 1 gilt f(3) = 8. Welche Steigung hat eine Stammfunktion F bei x = 3?
Erklärung: F′(3) = f(3) = 8. Die Höhe von f ist die Steigung von F.
Berechne die Steigung einer Stammfunktion F von f(x) = x² − 1 bei x = −2.
Erklärung: F′(−2) = f(−2) = (−2)² − 1 = 3. Die Stammfunktion steigt dort.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = 4 − x². Was hat eine Stammfunktion F bei x = 2?
Erklärung: f hat bei 2 eine Nullstelle und wechselt von + nach −: F steigt, dann fällt sie, also Hochpunkt. Ein Tiefpunkt bräuchte den Wechsel von − nach +; ob F eine Nullstelle hat, sagt f nicht.
Eine Funktion f wechselt bei x = −3 ihr Vorzeichen von − nach +. Was hat eine Stammfunktion F bei x = −3?
Erklärung: Links von −3 ist f < 0, F fällt; rechts ist f > 0, F steigt. Fallen, dann Steigen ist ein Tiefpunkt.
Hat f bei x = 1 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so hat jede Stammfunktion F von f bei x = 1 ebenfalls eine Nullstelle.
Erklärung: Bei x = 1 ist F′ = f = 0: F hat dort einen Extrempunkt. Ob F dort den Wert 0 hat, hängt von der gewählten Stammfunktion ab (F + C).
Der Graph von f schneidet die x-Achse bei 1, 4 und 6, jedes Mal mit Vorzeichenwechsel. Wie viele Extremstellen hat F?
Erklärung: An jeder Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat F einen Extrempunkt: also bei 1, 4 und 6.
Die Abbildung zeigt f(x) = x² − 9. An welcher Stelle hat eine Stammfunktion F einen Tiefpunkt?
Erklärung: Bei x = −3 wechselt f von + nach − (Hochpunkt von F), bei x = 3 von − nach + (Tiefpunkt von F).
Der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen −2 und 2 (f(x) = x² − 4). Skizziere den Graphen einer Stammfunktion F von f und begründe den Verlauf: Wo steigt oder fällt F, wo hat F Extrempunkte?
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Aus dem Vorzeichen von f folgt das Steigen und Fallen von F; die Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel sind die Extremstellen von F.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x². Was hat eine Stammfunktion F bei x = 0?
Erklärung: f(0) = 0, also F′(0) = 0. Weil f links und rechts von 0 positiv ist, steigt F auf beiden Seiten: ein Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Für f(x) = (x + 1)² gilt f(x) ≥ 0 für alle x. Deshalb hat jede Stammfunktion von f keinen Extrempunkt.
Erklärung: f berührt die x-Achse bei −1 ohne Vorzeichenwechsel. F steigt überall, an der Stelle −1 nur mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt).
f(x) = x²·(x − 3) hat die Nullstellen 0 (Berührung) und 3 (Vorzeichenwechsel). Wie viele Extrempunkte hat F?
Erklärung: Nur bei x = 3 wechselt f das Vorzeichen (von − nach +): Tiefpunkt von F. Bei 0 hat F nur eine waagerechte Tangente.
f(x) = (x − 1)²·(x + 3)·(x − 4) hat die Nullstellen −3, 1 (doppelt) und 4. Wie viele Extrempunkte hat F?
Erklärung: Vorzeichenwechsel haben f bei −3 und bei 4; bei 1 berührt f nur die Achse, weil der Faktor (x − 1)² sein Vorzeichen nicht ändert. F hat also zwei Extrempunkte.
F(x) = x³/3 − x ist eine Stammfunktion von f(x) = x² − 1. Welche Funktion ist ebenfalls eine Stammfunktion von f?
Erklärung: Addiert man eine Konstante, bleibt die Ableitung gleich: (x³/3 − x + 5)′ = x² − 1. Mit dem Faktor 5 wird die Ableitung 5x² − 5, mit −5x wird sie x² − 5.
Die Abbildung zeigt F und G. G entsteht aus F durch Verschieben um 2 nach oben. Ist F eine Stammfunktion von f, dann auch G.
Erklärung: Verschieben ändert die Steigung an keiner Stelle: G′ = F′ = f. Beide Graphen sind Stammfunktionen von f.
F(x) = x³ − 4x ist eine Stammfunktion von f. G(x) = F(x) + 7. Berechne G′(1).
Erklärung: G′ = F′ = f, also G′(1) = 3 · 1² − 4 = −1. Die Konstante 7 fällt beim Ableiten weg.
F(x) = x³/3 − x hat den Wert F(3) = 6. Eine andere Stammfunktion G von f(x) = x² − 1 hat G(3) = 10. Wie groß ist G(0) − F(0)?
Erklärung: Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich um eine Konstante: G(x) − F(x) = C. An der Stelle 3 ist C = 10 − 6 = 4, also gilt G(0) − F(0) = 4.