Vom Graphen von f zu F
From the graph of f to F
Eine Stammfunktion F von f erfüllt F′ = f: Die Höhe des Graphen von f ist die Steigung von F. Wo f positiv ist, steigt F, wo f negativ ist, fällt F; eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel ist eine Extremstelle von F, eine Berührstelle nur eine waagerechte Tangente. Verschiebt man F, bleibt es eine Stammfunktion. Der Abschnitt räumt aus, dass F wie f aussieht oder die Nullstellen von f erbt und dass es nur eine Stammfunktion gäbe (Höhe und Steigung verwechseln: Clement 1989; graphisches Lesen: Asiala u. a. 1997). Er bereitet die Stammfunktionsterme vor.
Höhe wird Steigung
Bisher ging es von f zur Ableitung
Liegt f über der x-Achse, steigt F; liegt f darunter, fällt F. Beispiel
Am Graphen von f liest du F also Stück für Stück ab: Wo f groß und positiv ist, steigt F steil; wo f nahe 0 liegt, verläuft F fast waagerecht.
Nullstellen von f
Wo f eine Nullstelle hat, ist
Berührt f die x-Achse nur, ohne das Vorzeichen zu wechseln, steigt F auf beiden Seiten weiter: waagerechte Tangente, aber kein Extrempunkt. Bei
Die Begründung ist immer dieselbe: Sieh auf das Vorzeichen von f links und rechts der Nullstelle. Beim Wechsel von + nach − schlägt das Steigen von F in Fallen um.
Viele Stammfunktionen
Verschiebst du F nach oben oder unten, ändern sich die Steigungen nicht. Mit F ist auch
Man erzeugt die Stammfunktionen durch Verschieben, nicht durch Strecken: Zwei Graphen, die sich um einen Faktor unterscheiden, haben verschiedene Steigungen und gehören zu verschiedenen Funktionen f. Bei
Ermöglicht (1)
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x² − 1. F ist eine Stammfunktion von f. Was gilt für F bei x = 0?
Die Abbildung zeigt den Graphen von f mit dem Punkt P(2 | 3). Welche Steigung hat eine Stammfunktion F bei x = 2?
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = 4 − x². Was hat eine Stammfunktion F bei x = 2?
Eine Funktion f wechselt bei x = −3 ihr Vorzeichen von − nach +. Was hat eine Stammfunktion F bei x = −3?
Hat f bei x = 1 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so hat jede Stammfunktion F von f bei x = 1 ebenfalls eine Nullstelle.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x². Was hat eine Stammfunktion F bei x = 0?
Für f(x) = (x + 1)² gilt f(x) ≥ 0 für alle x. Deshalb hat jede Stammfunktion von f keinen Extrempunkt.
F(x) = x³/3 − x ist eine Stammfunktion von f(x) = x² − 1. Welche Funktion ist ebenfalls eine Stammfunktion von f?
Die Abbildung zeigt F und G. G entsteht aus F durch Verschieben um 2 nach oben. Ist F eine Stammfunktion von f, dann auch G.
Für f(x) = x² − 1 gilt f(3) = 8. Welche Steigung hat eine Stammfunktion F bei x = 3?
Der Graph von f schneidet die x-Achse bei 1, 4 und 6, jedes Mal mit Vorzeichenwechsel. Wie viele Extremstellen hat F?
f(x) = x²·(x − 3) hat die Nullstellen 0 (Berührung) und 3 (Vorzeichenwechsel). Wie viele Extrempunkte hat F?
F(x) = x³ − 4x ist eine Stammfunktion von f. G(x) = F(x) + 7. Berechne G′(1).
Berechne die Steigung einer Stammfunktion F von f(x) = x² − 1 bei x = −2.
Die Abbildung zeigt f(x) = x² − 9. An welcher Stelle hat eine Stammfunktion F einen Tiefpunkt?
Der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen −2 und 2 (f(x) = x² − 4). Skizziere den Graphen einer Stammfunktion F von f und begründe den Verlauf: Wo steigt oder fällt F, wo hat F Extrempunkte? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
f(x) = (x − 1)²·(x + 3)·(x − 4) hat die Nullstellen −3, 1 (doppelt) und 4. Wie viele Extrempunkte hat F?
F(x) = x³/3 − x hat den Wert F(3) = 6. Eine andere Stammfunktion G von f(x) = x² − 1 hat G(3) = 10. Wie groß ist G(0) − F(0)?