Die Konstante C festlegen
Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Stammfunktionen Fâ und Fâ derselben Funktion. Wie groĂ ist Fâ(2) â Fâ(2)?
Erklärung: Fâ liegt an jeder Stelle um 5 Ăźber Fâ (Scheitel 1 und â4). Die Ableitungen stimmen Ăźberein, die Differenz ist konstant: bei x = 2 ebenso 5 wie bei x = 0. Null wäre der Abstand bei gleicher HĂśhe, â5 ergibt sich, wenn Fâ â Fâ statt Fâ â Fâ gerechnet wird.
Welche der Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x?
Erklärung: Bei x² + 3 ist die Ableitung 2x, die Konstante 3 spielt keine Rolle. x² + 3x hat die Ableitung 2x + 3, 2x² + 3 die Ableitung 4x.
Die Funktionen x³ + 1 und x³ + x sind beide Stammfunktionen von f(x) = 3x².
Erklärung: (x³ + 1)Ⲡ= 3x², aber (x³ + x)Ⲡ= 3x² + 1. Nur ein Summand ohne x ist eine Konstante, die sich beim Ableiten nicht bemerkbar macht.
F(x) = xâ´ + 2 und G(x) = xâ´ â 7 sind Stammfunktionen derselben Funktion. Berechne F(3) â G(3).
Erklärung: F(x) â G(x) = 2 â (â7) = 9 an jeder Stelle, also auch bei x = 3. Rechnen kann man auch: F(3) = 83, G(3) = 74.
Fâ(x) = xÂł â 2x + 4 ist eine Stammfunktion von f. FĂźr eine andere Stammfunktion Fâ von f gilt Fâ(1) = 9. Berechne Fâ(0).
Erklärung: Fâ(1) = 1 â 2 + 4 = 3, also Fâ(1) â Fâ(1) = 6. Die Differenz ist Ăźberall 6: Fâ(0) = Fâ(0) + 6 = 4 + 6 = 10.
Die Abbildung zeigt drei Graphen von F(x) = xÂł â 3x + C und den Punkt P(2 | 3). Welche Gleichung bestimmt das C, fĂźr das F durch P geht?
Erklärung: P wird in F eingesetzt: x = 2 gehĂśrt in den Term von F, der y-Wert 3 steht rechts. In f = 3x² â 3 einzusetzen ist falsch, und die 2 auf der rechten Seite wäre die x-Koordinate.
Der Graph von F(x) = x² + C geht durch den Punkt P(1 | 4). Welchen Wert hat C?
Erklärung: F(1) = 1 + C = 4 gibt C = 3. C = 4 ist die y-Koordinate von P, C = 5 entsteht bei 1 + 4.
FĂźr F(x) = 2x + C mit F(1) = 5 gilt C = 3.
Erklärung: F(1) = 2 + C = 5, also C = 3.
Fßr F(x) = x² + C mit F(3) = 10 gilt C = 19.
Erklärung: F(3) = 9 + C = 10 gibt C = 1. Der Wert 19 entsteht, wenn 9 addiert statt subtrahiert wird.
F(x) = 2x + C und F(3) = 10. Berechne C.
Erklärung: F(3) = 6 + C = 10, also C = 4.
F ist die Stammfunktion von f(x) = 4xÂł â 2x mit F(1) = 6. Berechne F(2).
Erklärung: F(x) = xâ´ â x² + C. F(1) = 1 â 1 + C = 6, also C = 6. F(2) = 16 â 4 + 6 = 18.
Ein Fahrrad fährt mit der Geschwindigkeit v(t) = 2t (m/s). Bei t = 0 hat es schon 10 m zurßckgelegt. Welche Funktion gibt die Strecke s(t)?
Erklärung: Stammfunktion von 2t ist t² + C, und s(0) = 10 gibt C = 10. Ohne die 10 wird der Anfangswert ignoriert; 2t + 10 setzt die Geschwindigkeit als Strecke an.
Ein Becken enthält 50 Liter. Der Zufluss beträgt r(t) = 4t Liter pro Minute. Welcher Term gibt die Wassermenge V(t)?
Erklärung: Eine Stammfunktion von 4t ist 2t², dazu kommt der Anfangswert 50. Ohne Teilen durch 2 entsteht 4t², und 4t + 50 ist keine Stammfunktion, sondern r(t) + 50.
Die Abbildung zeigt drei Strecken-Zeit-Graphen mit derselben Geschwindigkeit v(t) = 2t. Welcher gehĂśrt zu s(0) = 10 m?
Erklärung: Bei t = 0 ist s(0) = C = 10 ablesbar: Der Graph C beginnt bei 10. Alle drei Graphen haben dieselbe Form, weil sie dieselbe Geschwindigkeit haben; sie unterscheiden sich nur im Anfangswert.
Aus v(t) = 3t² und dem Anfangswert s(0) = 5 lässt sich die Strecke s(t) eindeutig bestimmen.
Erklärung: Stammfunktionen von 3t² sind t³ + C. Der Anfangswert s(0) = 5 legt C = 5 fest, also s(t) = t³ + 5. Ohne Anfangswert bliebe C offen.
Fßr v(t) = 3t² ist s(t) = t³ + C. Bei s(0) = 5 ist C = ?
Erklärung: s(0) = 0 + C = 5, also C = 5.
Ein Wagen fährt mit v(t) = 6t + 1 (m/s) und ist bei t = 0 schon 3 m gefahren. Wie viele Meter hat er bei t = 2 s zurßckgelegt?
Erklärung: s(t) = 3t² + t + C mit s(0) = 3, also C = 3. s(2) = 12 + 2 + 3 = 17 m.
Eine Pflanze wächst mit der Rate hâ˛(t) = 6t² + 2 cm pro Woche (t in Wochen). Zu Beginn (t = 0) ist sie 12 cm hoch. Bestimme die HĂśhenfunktion h(t) und berechne die HĂśhe nach 3 Wochen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Wachstumsrate ist die Ableitung der HÜhe. Man leitet gliedweise auf und legt C mit dem Anfangswert h(0) = 12 fest.