Die Konstante C festlegen
Fixing the constant C
Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante: F(x) = xÂł â 3x + C. Ein Punkt (xâ | yâ) legt C fest, indem man ihn in F einsetzt (nicht in f): F(2) = 3 gibt C = 1. Kennt man eine Ănderungsrate und den Anfangsbestand, rekonstruiert man den Bestand: v(t) = 3t² + 2 mit s(0) = 4 gibt s(t) = tÂł + 2t + 4 (Grundvorstellung Rekonstruktion, Greefrath u. a. 2016). Der Abschnitt räumt aus, den Punkt in f einzusetzen und den Anfangswert zu Ăźbersehen. Er bereitet das bestimmte Integral vor.
Ein Punkt legt C fest
Alle Stammfunktionen von
Zwei von ihnen unterscheiden sich nur um eine Konstante. Verlangt man zusätzlich, dass der Graph durch
In f darfst du P nicht einsetzen:
Anschaulich sind alle Stammfunktionen dieselbe Kurve auf verschiedenen HĂśhen. Ein einziger Punkt reicht, um die HĂśhe festzulegen; ohne Punkt bleibt C offen.
Vom Tempo zur Strecke
Kennt man nur eine Ănderungsrate, rekonstruiert man den Bestand. Ein Wagen fährt mit
Die Geschwindigkeit allein bestimmt die Strecke nicht; erst der Anfangswert legt
Das ist die Grundidee der Rekonstruktion: Aus Ănderungen lässt sich der Bestand nur gewinnen, wenn man weiĂ, wo man angefangen hat. Beim Wasserbecken ist es der FĂźllstand zu Beginn, beim Auto der Kilometerstand.
Voraussetzungen (1)
Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Stammfunktionen Fâ und Fâ derselben Funktion. Wie groĂ ist Fâ(2) â Fâ(2)?
Welche der Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x?
Die Funktionen x³ + 1 und x³ + x sind beide Stammfunktionen von f(x) = 3x².
Die Abbildung zeigt drei Graphen von F(x) = xÂł â 3x + C und den Punkt P(2 | 3). Welche Gleichung bestimmt das C, fĂźr das F durch P geht?
Der Graph von F(x) = x² + C geht durch den Punkt P(1 | 4). Welchen Wert hat C?
FĂźr F(x) = 2x + C mit F(1) = 5 gilt C = 3.
Fßr F(x) = x² + C mit F(3) = 10 gilt C = 19.
Ein Fahrrad fährt mit der Geschwindigkeit v(t) = 2t (m/s). Bei t = 0 hat es schon 10 m zurßckgelegt. Welche Funktion gibt die Strecke s(t)?
Ein Becken enthält 50 Liter. Der Zufluss beträgt r(t) = 4t Liter pro Minute. Welcher Term gibt die Wassermenge V(t)?
Die Abbildung zeigt drei Strecken-Zeit-Graphen mit derselben Geschwindigkeit v(t) = 2t. Welcher gehĂśrt zu s(0) = 10 m?
Aus v(t) = 3t² und dem Anfangswert s(0) = 5 lässt sich die Strecke s(t) eindeutig bestimmen.
F(x) = xâ´ + 2 und G(x) = xâ´ â 7 sind Stammfunktionen derselben Funktion. Berechne F(3) â G(3).
F(x) = 2x + C und F(3) = 10. Berechne C.
Fßr v(t) = 3t² ist s(t) = t³ + C. Bei s(0) = 5 ist C = ?
Fâ(x) = xÂł â 2x + 4 ist eine Stammfunktion von f. FĂźr eine andere Stammfunktion Fâ von f gilt Fâ(1) = 9. Berechne Fâ(0).
F ist die Stammfunktion von f(x) = 4xÂł â 2x mit F(1) = 6. Berechne F(2).
Ein Wagen fährt mit v(t) = 6t + 1 (m/s) und ist bei t = 0 schon 3 m gefahren. Wie viele Meter hat er bei t = 2 s zurßckgelegt?
Eine Pflanze wächst mit der Rate hâ˛(t) = 6t² + 2 cm pro Woche (t in Wochen). Zu Beginn (t = 0) ist sie 12 cm hoch. Bestimme die HĂśhenfunktion h(t) und berechne die HĂśhe nach 3 Wochen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.