Nullstellen und feste Punkte
Die Nullstellen von f_a(x) = x³ − 3a·x sollen berechnet werden. Welcher erste Schritt ist richtig?
Erklärung: Man klammert x aus: x³ − 3a·x = x·(x² − 3a). Teilt man stattdessen durch x, bleibt x² − 3a = 0 übrig und die Nullstelle 0 geht verloren; bei x·(x − 3a) stimmt der Klammerinhalt nicht.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit den Nullstellen −3, 0 und 3. Welchen Wert hat a?
Erklärung: Nullstelle x = 3 einsetzen: 27 − 9a = 0, also a = 3. Probe: x² = 3a gibt 9 = 3 · 3. Bei a = 9 wurde x² = a statt x² = 3a angesetzt, bei a = 1 wurde x = 3a statt x² = 3a gelesen.
Für a = 4 hat f_a(x) = x³ − 3a·x genau die Nullstellen −√12 und √12.
Erklärung: Aus x·(x² − 12) = 0 folgt x = 0 oder x = ±√12. Die Nullstelle 0 gehört dazu; sie geht nur verloren, wenn man durch x teilt.
Für a = 12 hat f_a(x) = x³ − 3a·x eine positive Nullstelle. Wie lautet sie?
Erklärung: x² = 3a = 36, also x = 6 (die negative Lösung −6 ist die zweite äußere Nullstelle).
Für welchen Wert von a ist x = 6 eine Nullstelle von f_a(x) = x³ − 3a·x?
Erklärung: Einsetzen: 216 − 18a = 0, also a = 12. Alternativ aus x² = 3a: 36 = 3a.
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Welche Aussage über a stimmt?
Erklärung: Der Graph hat drei Nullstellen: 0 und ±√(3a). Das gibt es nur für a > 0. Bei a = 0 wäre der Graph die Kurve x³ mit einer einzigen Nullstelle, bei a < 0 ebenfalls.
Wie viele Nullstellen hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = −3?
Erklärung: x·(x² + 9) = 0: x² = −9 hat keine reelle Lösung, es bleibt x = 0. Drei Nullstellen wären ±√(3a) mit negativem Radikanden, zwei ließe die Nullstelle 0 aus.
Für a = 0 ist f_0(x) = x³. Diese Funktion hat genau eine Nullstelle.
Erklärung: x³ = 0 hat nur die Lösung x = 0. Für a = 0 fallen die drei Nullstellen −√(3a), 0, √(3a) in einer zusammen; es sind nicht drei verschiedene.
Für a = 5 hat f_a(x) = x³ − 3a·x drei Nullstellen.
Erklärung: x·(x² − 15) = 0 gibt x = 0 und x = ±√15. Für jedes a > 0 sind es drei.
Wie viele Nullstellen hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 0,25?
Erklärung: Für a > 0 gilt: x = 0 und x = ±√(3a) = ±√0,75. Das sind drei Nullstellen.
Für wie viele der Werte a = −2, −1, 0, 1, 2 hat f_a(x) = x³ − 3a·x genau eine Nullstelle?
Erklärung: Genau eine Nullstelle hat f_a für a ≤ 0, also für −2, −1 und 0. Für a = 1 und a = 2 sind es drei.
Bestimme für die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x alle Nullstellen in Abhängigkeit von a. Unterscheide, für welche a es drei Nullstellen gibt und für welche nur eine.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Faktor x liefert immer die Nullstelle 0; der zweite Faktor x² − 3a liefert ±√(3a) nur dann, wenn 3a ≥ 0 ist.
Welcher Punkt liegt auf allen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x?
Erklärung: f_a(0) = 0 für jedes a. (1 | 0) liegt nur auf dem Graphen für a = 1/3 (1 − 3a = 0), (1 | −2) nur auf dem für a = 1.
Die Abbildung zeigt vier Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. An welcher Stelle x gehen alle vier durch denselben Punkt?
Erklärung: Bei x = 0 ist f_a(0) = 0 für jedes a: Alle Graphen schneiden sich im Ursprung. Bei x = 1 sind die Werte 1 − 3a, also verschieden; x = √3 ist nur die Nullstelle des Graphen zu a = 1.
Der Punkt (1 | −2) liegt auf allen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.
Erklärung: f_a(1) = 1 − 3a hängt von a ab; −2 erhält man nur für a = 1. Für a = 0 liegt der Graph bei (1 | 1).
Bei x = 0 ist f_a(0) = ___ für jedes a.
Erklärung: f_a(0) = 0³ − 3a · 0 = 0. Der Summand mit a wird mit 0 multipliziert, a fällt heraus.
Alle Graphen von g_a(x) = a·(x² − 1) + x gehen durch einen Punkt mit x = 1. Wie lautet sein y-Wert?
Erklärung: Bei x = 1 verschwindet die Klammer x² − 1 = 0, a fällt heraus: g_a(1) = 0 + 1 = 1. Gemeinsamer Punkt ist (1 | 1).