Nullstellen und feste Punkte

Zeros and fixed points

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

AnalysisFunktionenParameter

Die Nullstellen einer Schar berechnet man wie sonst, nur bleibt a als Zahl im Ergebnis stehen: x·(x² − 3a) = 0 gibt x = 0 oder x = ±√(3a). Wie viele Nullstellen es gibt, hängt vom Vorzeichen von a ab, deshalb braucht man eine Fallunterscheidung. Ein Punkt, der auf allen Graphen liegt, ergibt sich an der Stelle, an der a aus dem Term herausfällt. Der Abschnitt räumt aus, durch x zu teilen (die Nullstelle 0 geht verloren) und ±√(3a) auch für a < 0 anzugeben. Er bereitet die Extremstellen der Schar vor.

Nullstellen mit Parameter

Nullstellen berechnest du wie immer: $f_{a} (x) = 0$ setzen und nach x lösen. Bei der Schar $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x$ klammerst du x aus:

$x (x^{2} - 3 a) = 0 \Rightarrow x = 0 oder x^{2} = 3 a$

Das Ergebnis enthält a: $x = \pm 3 a$ . Teile nicht durch x, sonst geht die Nullstelle 0 verloren.

Für $a > 0$ gibt es drei Nullstellen: $- 3 a$ , 0 und $3 a$ . Für $a = 0$ fallen sie in 0 zusammen, für $a < 0$ hat $x^{2} = 3 a$ keine reelle Lösung. Darum braucht man eine Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von a.

Probiere es für $a = 3$ : $x^{2} = 9$ gibt $x = \pm 3$ , die Nullstellen sind −3, 0 und 3. Für $a = - 3$ wäre $x^{2} = - 9$ unlösbar, es bliebe nur $x = 0$ . Das Ergebnis ist also ein Term, der mit a wächst: Je größer a, desto weiter liegen die äußeren Nullstellen auseinander.

Bewege a durch 0. Wann sind die äußeren Nullstellen da, und was passiert mit ihnen, wenn a kleiner wird?

Ein Punkt für alle Graphen

Manche Punkte liegen auf allen Graphen der Schar. Man findet sie an einer Stelle, an der a aus dem Funktionswert herausfällt. Bei $x = 0$ ist $f_{a} (0) = 0$ für jedes a: Alle Graphen gehen durch (0 | 0). Bei $x = 1$ dagegen ist $f_{a} (1) = 1 - 3 a$ ; der Wert hängt von a ab, also ist (1 | −2) nur ein Punkt des Graphen zu $a = 1$ .

Zum Suchen setzt du eine Stelle x ein und prüfst, ob a im Ergebnis noch vorkommt.

Ein solcher Punkt bleibt auf seinem Platz, während sich der Rest der Kurve mit a verformt. Deshalb ist er ein guter Halt, wenn man eine Schar skizzieren will.

Ziehe x₀ nach links und rechts. Bei welchem x sind alle vier Werte gleich?

Voraussetzungen (1)

Scharen und Parameter

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Extrempunkte der Schar

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Nullstellen von f_a(x) = x³ − 3a·x sollen berechnet werden. Welcher erste Schritt ist richtig?

● x·(x² − 3a) = 0
○ x² − 3a = 0
○ x·(x − 3a) = 0

Man klammert x aus: x³ − 3a·x = x·(x² − 3a). Teilt man stattdessen durch x, bleibt x² − 3a = 0 übrig und die Nullstelle 0 geht verloren; bei x·(x − 3a) stimmt der Klammerinhalt nicht.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit den Nullstellen −3, 0 und 3. Welchen Wert hat a?

● a = 3
○ a = 9
○ a = 1

Nullstelle x = 3 einsetzen: 27 − 9a = 0, also a = 3. Probe: x² = 3a gibt 9 = 3 · 3. Bei a = 9 wurde x² = a statt x² = 3a angesetzt, bei a = 1 wurde x = 3a statt x² = 3a gelesen.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Für a = 4 hat f_a(x) = x³ − 3a·x genau die Nullstellen −√12 und √12.

✓ Falsch

Aus x·(x² − 12) = 0 folgt x = 0 oder x = ±√12. Die Nullstelle 0 gehört dazu; sie geht nur verloren, wenn man durch x teilt.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. Welche Aussage über a stimmt?

● a > 0
○ a = 0
○ a < 0

Der Graph hat drei Nullstellen: 0 und ±√(3a). Das gibt es nur für a > 0. Bei a = 0 wäre der Graph die Kurve x³ mit einer einzigen Nullstelle, bei a < 0 ebenfalls.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie viele Nullstellen hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = −3?

● eine
○ drei
○ zwei

x·(x² + 9) = 0: x² = −9 hat keine reelle Lösung, es bleibt x = 0. Drei Nullstellen wären ±√(3a) mit negativem Radikanden, zwei ließe die Nullstelle 0 aus.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für a = 0 ist f_0(x) = x³. Diese Funktion hat genau eine Nullstelle.

✓ Wahr

x³ = 0 hat nur die Lösung x = 0. Für a = 0 fallen die drei Nullstellen −√(3a), 0, √(3a) in einer zusammen; es sind nicht drei verschiedene.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für a = 5 hat f_a(x) = x³ − 3a·x drei Nullstellen.

✓ Wahr

x·(x² − 15) = 0 gibt x = 0 und x = ±√15. Für jedes a > 0 sind es drei.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf allen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x?

● (0 | 0)
○ (1 | 0)
○ (1 | −2)

f_a(0) = 0 für jedes a. (1 | 0) liegt nur auf dem Graphen für a = 1/3 (1 − 3a = 0), (1 | −2) nur auf dem für a = 1.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt vier Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x. An welcher Stelle x gehen alle vier durch denselben Punkt?

● x = 0
○ x = 1
○ x = √3

Bei x = 0 ist f_a(0) = 0 für jedes a: Alle Graphen schneiden sich im Ursprung. Bei x = 1 sind die Werte 1 − 3a, also verschieden; x = √3 ist nur die Nullstelle des Graphen zu a = 1.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Der Punkt (1 | −2) liegt auf allen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.

✓ Falsch

f_a(1) = 1 − 3a hängt von a ab; −2 erhält man nur für a = 1. Für a = 0 liegt der Graph bei (1 | 1).

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für a = 12 hat f_a(x) = x³ − 3a·x eine positive Nullstelle. Wie lautet sie?

✓ Antwort: 6

x² = 3a = 36, also x = 6 (die negative Lösung −6 ist die zweite äußere Nullstelle).

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Wie viele Nullstellen hat f_a(x) = x³ − 3a·x für a = 0,25?

✓ Antwort: 3

Für a > 0 gilt: x = 0 und x = ±√(3a) = ±√0,75. Das sind drei Nullstellen.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Bei x = 0 ist f_a(0) = ___ für jedes a.

✓ Antwort: 0

f_a(0) = 0³ − 3a · 0 = 0. Der Summand mit a wird mit 0 multipliziert, a fällt heraus.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für welchen Wert von a ist x = 6 eine Nullstelle von f_a(x) = x³ − 3a·x?

✓ Antwort: 12

Einsetzen: 216 − 18a = 0, also a = 12. Alternativ aus x² = 3a: 36 = 3a.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für wie viele der Werte a = −2, −1, 0, 1, 2 hat f_a(x) = x³ − 3a·x genau eine Nullstelle?

✓ Antwort: 3

Genau eine Nullstelle hat f_a für a ≤ 0, also für −2, −1 und 0. Für a = 1 und a = 2 sind es drei.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Bestimme für die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x alle Nullstellen in Abhängigkeit von a. Unterscheide, für welche a es drei Nullstellen gibt und für welche nur eine. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x ausklammern: x·(x² − 3a) = 0, also x = 0 oder x² = 3a. Für a > 0: x = −√(3a), 0, √(3a) (drei Nullstellen). Für a = 0: x² = 0, nur x = 0. Für a < 0: x² = 3a hat keine reelle Lösung, nur x = 0 (eine Nullstelle).

Der Faktor x liefert immer die Nullstelle 0; der zweite Faktor x² − 3a liefert ±√(3a) nur dann, wenn 3a ≥ 0 ist.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Alle Graphen von g_a(x) = a·(x² − 1) + x gehen durch einen Punkt mit x = 1. Wie lautet sein y-Wert?

✓ Antwort: 1

Bei x = 1 verschwindet die Klammer x² − 1 = 0, a fällt heraus: g_a(1) = 0 + 1 = 1. Gemeinsamer Punkt ist (1 | 1).