Scharen und Parameter
Der Graph von f_a(x) = x³ − 3a·x wird für a = 2 gezeichnet. Was bleibt entlang des ganzen Graphen unverändert?
Erklärung: Für einen Graphen ist a eine feste Zahl. Entlang des Graphen ändern sich x und der Funktionswert, nicht der Parameter a. x = 2 ist nur ein Punkt des Graphen, nicht seine Bauart.
Die Punkte (1 | −2) und (2 | 8) liegen auf demselben Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.
Erklärung: Aus f_a(1) = 1 − 3a = −2 folgt a = 1. Aus f_a(2) = 8 − 6a = 8 folgt a = 0. Zwei verschiedene Werte von a sind zwei verschiedene Graphen; ein Graph hat nur ein a.
Die Punkte (1 | −2) und (2 | 2) liegen auf demselben Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.
Erklärung: Aus f_a(1) = 1 − 3a = −2 folgt a = 1. Aus f_a(2) = 8 − 6a = 2 folgt ebenfalls a = 1. Beide Punkte gehören zum Graphen von f_1.
In f_a(x) = x³ − 3a·x ist der Buchstabe ___ die Variable, die entlang des Graphen läuft.
Erklärung: Die Variable ist x. a ist der Parameter und bleibt für einen Graphen fest.
In f_a(x) = x³ − 3a·x setzt man zuerst x = 2 ein und erhält f_a(2) = 8 − 6a. Berechne f_a(2) für a = 1,5.
Erklärung: f_a(2) = 8 − 6 · 1,5 = 8 − 9 = −1. Bei festem x = 2 hängt der Wert nur noch von a ab.
Welche Funktion gehört in der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x zu a = 2?
Erklärung: Für a = 2 wird der Faktor 3a zu 6, also f_2(x) = x³ − 6x. a wird nicht addiert (x³ − 3x + 2) und steht nicht vor x³ (2x³ − 3x).
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit dem Punkt P(1 | −5). Welchen Wert hat a?
Erklärung: P einsetzen: f_a(1) = 1 − 3a = −5, also −3a = −6 und a = 2. Bei a = −2 wäre das Vorzeichen falsch (1 + 6 = 7), bei a = 5/3 fehlt der Summand 1.
Die Abbildung zeigt zwei Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x, beschriftet mit ihrem a. Welchen Funktionswert hat der Graph zu a = 1 bei x = 3?
Erklärung: f_1(3) = 27 − 9 = 18. Der Wert 27 gehört zum Graphen von a = 0 (f_0(3) = 27). Der Wert −9 entsteht, wenn der Summand x³ vergessen wird.
Der Punkt (2 | 8) liegt auf dem Graphen von f_1(x) = x³ − 3x.
Erklärung: f_1(2) = 8 − 6 = 2, nicht 8. Der Wert 8 ist x³ allein: Er gehört zum Graphen von f_0, nicht zu a = 1.
Berechne f_3(2) für die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.
Erklärung: Für a = 3 ist f_3(x) = x³ − 9x. f_3(2) = 8 − 18 = −10.
Der Graph von f_a(x) = x³ − 3a·x geht durch P(−1 | 5). Berechne a.
Erklärung: P einsetzen: f_a(−1) = −1 + 3a = 5, also 3a = 6 und a = 2. Beim Einsetzen von −1 wechselt das Vorzeichen des Terms −3a·x.
Der Graph der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x geht durch Q(3 | 18). Bestimme a, gib die zugehörige Funktion f_a an und prüfe durch Einsetzen von Q.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Ein Punkt des Graphen legt a fest: Man setzt x = 3 und y = 18 in f_a ein und löst die Gleichung 27 − 9a = 18 nach a.
Die Parabel zu g_a(x) = x² + a wird für a = 3 statt für a = 0 gezeichnet. Was passiert mit dem Graphen?
Erklärung: a steht als Summand: Jeder Funktionswert wird um a größer, der Scheitel liegt bei (0 | a). Eine Verschiebung nach rechts gehört zur Klammer, eine Streckung zum Faktor.
Die Abbildung zeigt die Parabel zu k_a(x) = (x − a)² für einen bestimmten Wert von a. Welchen Wert hat a?
Erklärung: Der Scheitel liegt bei (3 | 0). Bei (x − a)² liegt er bei (a | 0), also ist a = 3. a = −3 wäre das Vorzeichen aus der Klammer, a = 9 der Wert bei x = 0.
Die Abbildung zeigt die Normalparabel und den Graphen von h_a(x) = a·x². Welchen Wert hat a?
Erklärung: Bei x = 1 ist h_a(1) = a, und der Graph geht durch (1 | 3): a = 3. Ein Faktor a > 1 macht die Parabel steiler, a = 1/3 wäre flacher, a = −3 nach unten geöffnet.
Die Abbildung zeigt den Graphen von h_a(x) = a·x² für ein a. Es gilt a < 0.
Erklärung: Bei a < 0 sind alle Funktionswerte a·x² ≤ 0, der Graph ist nach unten geöffnet. Hier liegt der Graph unter der x-Achse: a < 0.
Der Scheitel von g_a(x) = x² + a liegt bei (0 | y). Wie groß ist y für a = −5?
Erklärung: Bei x = 0 ist g_a(0) = a, also y = −5. Der Scheitel liegt fünf Einheiten unter dem Ursprung.
Der Punkt (3 | 18) liegt auf dem Graphen von h_a(x) = a·x². Berechne a.
Erklärung: Einsetzen: a · 3² = 18, also 9a = 18 und a = 2.