Scharen und Parameter
Families and parameters
Eine Funktionenschar f_a ist eine Funktion mit einem zusätzlichen Buchstaben: Der Parameter a ist für jeden einzelnen Graphen eine feste Zahl, die Variable bleibt x. Jede Wahl von a liefert eine eigene Funktion; alle zusammen bilden die Schar. Der Abschnitt zeigt, wie ein Wert von a oder ein Punkt des Graphen die Funktion festlegt und wie die Stelle von a im Term (Summand, Faktor, Klammer) den Graphen verändert. Er räumt aus, dass a eine zweite Variable sei (Malle 1993). Er bereitet Nullstellen, Ableitung und Extrempunkte der Schar vor.
Ein Parameter, viele Graphen
Die Funktion
Das
Die
Eine Schar ist also keine Funktion mit zwei Variablen, die man auf einmal zeichnet, sondern eine Familie von Funktionen: Man legt zuerst a fest und zeichnet dann. Erst dadurch bekommt jede Kurve eine eigene Gleichung, mit der man rechnen kann.
Wo der Parameter steht
Die Stelle von a im Term entscheidet über die Wirkung. Als
Ein Punkt des Graphen legt a fest: Liegt
Zum Erkennen hilft eine Testfrage: Wandert der Scheitel? Dann steht a als Summand oder in der Klammer. Wird nur die Öffnung enger oder weiter? Dann steht a als Faktor. Vorsicht bei der Klammer:
Ermöglicht (2)
Der Graph von f_a(x) = x³ − 3a·x wird für a = 2 gezeichnet. Was bleibt entlang des ganzen Graphen unverändert?
Die Punkte (1 | −2) und (2 | 8) liegen auf demselben Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.
Die Punkte (1 | −2) und (2 | 2) liegen auf demselben Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.
Welche Funktion gehört in der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x zu a = 2?
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x mit dem Punkt P(1 | −5). Welchen Wert hat a?
Die Abbildung zeigt zwei Graphen der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x, beschriftet mit ihrem a. Welchen Funktionswert hat der Graph zu a = 1 bei x = 3?
Der Punkt (2 | 8) liegt auf dem Graphen von f_1(x) = x³ − 3x.
Die Parabel zu g_a(x) = x² + a wird für a = 3 statt für a = 0 gezeichnet. Was passiert mit dem Graphen?
Die Abbildung zeigt die Parabel zu k_a(x) = (x − a)² für einen bestimmten Wert von a. Welchen Wert hat a?
Die Abbildung zeigt die Normalparabel und den Graphen von h_a(x) = a·x². Welchen Wert hat a?
Die Abbildung zeigt den Graphen von h_a(x) = a·x² für ein a. Es gilt a < 0.
In f_a(x) = x³ − 3a·x ist der Buchstabe ___ die Variable, die entlang des Graphen läuft.
Berechne f_3(2) für die Schar f_a(x) = x³ − 3a·x.
Der Scheitel von g_a(x) = x² + a liegt bei (0 | y). Wie groß ist y für a = −5?
In f_a(x) = x³ − 3a·x setzt man zuerst x = 2 ein und erhält f_a(2) = 8 − 6a. Berechne f_a(2) für a = 1,5.
Der Graph von f_a(x) = x³ − 3a·x geht durch P(−1 | 5). Berechne a.
Der Graph der Schar f_a(x) = x³ − 3a·x geht durch Q(3 | 18). Bestimme a, gib die zugehörige Funktion f_a an und prüfe durch Einsetzen von Q. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Der Punkt (3 | 18) liegt auf dem Graphen von h_a(x) = a·x². Berechne a.