Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = x³?
Erklärung: Der Exponent wird um 1 erhöht (x⁴) und durch den neuen Exponenten 4 geteilt. Teilt man durch die alte 3, stimmt (x⁴/3)′ = 4x³/3 nicht; 3x² ist die Ableitung von x³, keine Stammfunktion.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = x?
Erklärung: x = x¹: Der Exponent wird 2, geteilt wird durch 2. Ohne Teilen gilt (x²)′ = 2x, und F(x) = 1 ist die Ableitung von x.
Die Abbildung zeigt f(x) = x² und die Kurven A und B. Welche Kurve ist eine Stammfunktion von f?
Erklärung: A′(x) = (x³/3)′ = x² = f(x). Bei B(x) = x³ ist B′(x) = 3x², das ist dreimal so groß wie f: Man hat nicht durch den neuen Exponenten geteilt.
Die Abbildung zeigt F(x) = x³/3, die Tangente an F bei x = 2 und f(x) = x² mit dem Punkt (2 | 4). Die Steigung der Tangente ist 4.
Erklärung: F′(2) = f(2) = 4: Die Höhe von f bei x = 2 ist die Steigung von F, die Tangente steigt um 4 je Einheit. Das passt zu F(x) = x³/3 als Stammfunktion von x².
Eine Stammfunktion von f(x) = x⁵ ist F(x) = x⁶/5.
Erklärung: Geteilt wird durch den neuen Exponenten 6: F(x) = x⁶/6. Probe: (x⁶/5)′ = 6x⁵/5, nicht x⁵.
Eine Stammfunktion von f(x) = x⁴ ist F(x) = x⁵/___.
Erklärung: Der neue Exponent ist 5, also wird durch 5 geteilt: (x⁵/5)′ = x⁴.
Eine Stammfunktion von f(x) = x³ ist F(x) = x⁴/4. Berechne F(2).
Erklärung: F(2) = 2⁴/4 = 16/4 = 4.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 4x³?
Erklärung: Der Faktor 4 bleibt, und es wird durch 4 geteilt: 4 · x⁴/4 = x⁴. Ohne Teilen ergibt sich 4x⁴ (Ableitung 16x³); wer den Faktor weglässt, erhält x⁴/4 (Ableitung x³).
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x² − 4x + 5?
Erklärung: Gliedweise: 3x² → x³, −4x → −2x², 5 → 5x. Bleibt die Konstante 5 stehen, fehlt das x; ohne Teilen durch 2 entsteht −4x².
Zur Konstanten f(x) = 7 gehört die Stammfunktion F(x) = 7x.
Erklärung: Die Konstante 7 ist 7·x⁰. Der Exponent wird 1, geteilt wird durch 1: F(x) = 7x. Probe: (7x)′ = 7.
Eine Stammfunktion von f(x) = 6x² ist F(x) = ___x³.
Erklärung: Der Faktor 6 bleibt, geteilt wird durch 3: 6 · x³/3 = 2x³. Probe: (2x³)′ = 6x².
Von f(x) = 6x + 9x² ist F(x) = ax² + bx³ eine Stammfunktion. Berechne a + b.
Erklärung: 6x → 3x², also a = 3; 9x² → 3x³, also b = 3. Damit a + b = 6.
Wie zeigt man, dass F(x) = x³ − 2x² eine Stammfunktion von f(x) = 3x² − 4x ist?
Erklärung: Man leitet F ab und erhält f. Leitet man f ab, erhält man 6x − 4, nicht F; der Wert F(0) = 0 sagt über F′ nichts.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x + 3?
Erklärung: Probe: (x² + 3x)′ = 2x + 3. Bei x² + 3 ist die Ableitung nur 2x; bei x²/2 + 3x wurde 2x fälschlich durch 2 geteilt, die Ableitung ist x + 3.
Die Abbildung zeigt f(x) = 2x, den Graphen von G(x) = x² und die Tangente an G bei x = 1. Mit welchem Wert stimmt die Steigung der Tangente überein?
Erklärung: Die Tangente an G bei x = 1 hat die Steigung G′(1) = 2 = f(1). Der Wert G(1) = 1 ist die Höhe von Q, nicht die Steigung. G′ = f gilt an jeder Stelle: G(x) = x² ist eine Stammfunktion von 2x.
Für f(x) = 3x² + 2 gibt eine Schülerin F(x) = x³ + 2 an. Berechne F′(1).
Erklärung: F′(x) = 3x², also F′(1) = 3. Aber f(1) = 3 + 2 = 5: F ist keine Stammfunktion. Richtig wäre F(x) = x³ + 2x.
Für welchen Wert von k ist F(x) = x³ + k·x² + 2x eine Stammfunktion von f(x) = 3x² + 8x + 2?
Erklärung: F′(x) = 3x² + 2k·x + 2. Der Vergleich mit f gibt 2k = 8, also k = 4.
Bestimme eine Stammfunktion F von f(x) = 4x³ − 6x² + 2x − 5 und mache die Probe durch Ableiten.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Jedes Glied wird einzeln aufgeleitet: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. Die Probe F′ = f bestätigt das Ergebnis.