Die Ebene in Parameterform
Welche Gleichung beschreibt die Ebene durch A(1 | 1 | 0) mit den Spannvektoren u = (1; 0; 2) und v = (0; 1; 1)?
ErklĂ€rung: Eine Ebene braucht zwei Parameter: StĂŒtzvektor A, dazu λ·u und Ό·v. Die zweite Gleichung addiert u und v zu einer einzigen Richtung (1; 1; 3) und beschreibt nur eine Gerade, in der dritten ist u als StĂŒtzvektor gewĂ€hlt.
E: X = (0; 0; 1) + λ·(1; 2; 3) + Ό·(2; 4; 7) beschreibt eine Ebene.
ErklĂ€rung: Die Spannvektoren (1; 2; 3) und (2; 4; 7) sind keine Vielfachen voneinander (2 · 3 = 6 â 7): Sie liegen nicht auf einer Geraden und spannen eine Ebene auf. Bei (2; 4; 6) wĂ€re es nur eine Gerade.
Welcher Punkt liegt in E: X = (1; 0; 2) + λ·(2; 1; 0) + Ό·(0; 1; 1) fĂŒr λ = 1 und ÎŒ = 2?
ErklĂ€rung: (1 + 2; 0 + 1 + 2; 2 + 0 + 2) = (3; 3; 4). P(5 | 3 | 3) entsteht bei vertauschten Parametern (λ = 2, ÎŒ = 1), P(2 | 3 | 2) durch das Vergessen des StĂŒtzvektors.
FĂŒr E: X = (2; â1; 3) + λ·(1; 0; 2) + Ό·(0; 1; â1) und λ = 2, ÎŒ = 3: Welche xâ-Koordinate hat der Punkt?
ErklĂ€rung: xâ = 3 + 2 · 2 + 3 · (â1) = 4.
Das Sonnensegel liegt in E: X = (2; 0; 0) + λ·(â1; 1; 0) + Ό·(â1; 0; 2) (LĂ€ngeneinheit 1 m). Bei λ = 1 ist ein Punkt des Segels 3 m hoch (xâ = 3). Bestimme ÎŒ.
ErklĂ€rung: Die dritte Zeile lautet xâ = 0 + 0 · λ + 2 · ÎŒ. Aus 2ÎŒ = 3 folgt ÎŒ = 1,5.
Welche Gleichung beschreibt die Ebene durch A(1 | 0 | 0), B(1 | 2 | 1) und C(3 | 0 | 2)?
ErklĂ€rung: StĂŒtzvektor A, Spannvektoren AB = (0; 2; 1) und AC = (2; 0; 2) (Spitze minus FuĂ). Die zweite Gleichung nimmt die Ortsvektoren von B und C als Richtungen, die dritte den Verbindungsvektor AB als StĂŒtzvektor und zeigt auf einen anderen Ausgangspunkt.
Die Punkte A(0 | 0 | 0), B(1 | 2 | 3) und C(2 | 4 | 6) bestimmen genau eine Ebene.
ErklÀrung: AB = (1; 2; 3) und AC = (2; 4; 6) = 2 · AB sind parallel: Die drei Punkte liegen auf einer Geraden, und durch sie gehen unendlich viele Ebenen.
Die Ebene des Sonnensegels hat den StĂŒtzvektor Sâ. Welche Spannvektoren passen?
ErklĂ€rung: SâSâ = (0 â 2; 2 â 0; 0 â 0) = (â2; 2; 0) und SâSâ = (0 â 2; 0 â 0; 4 â 0) = (â2; 0; 4). (0; 2; 0) und (0; 0; 4) sind die Ortsvektoren von Sâ und Sâ, und bei (2; 0; 4) ist das Vorzeichen der ersten Komponente falsch.
Die Ebene geht durch A(1 | 0 | 2), B(3 | 1 | 2) und C(1 | 4 | 5). Welche dritte Komponente hat der Spannvektor AC?
ErklĂ€rung: ACâ = 5 â 2 = 3 (Spitze minus FuĂ).
Das Sonnensegel hĂ€ngt an Sâ(2 | 0 | 0), Sâ(0 | 2 | 0) und Sâ(0 | 0 | 4): E: X = Sâ + λ·SâSâ + Ό·SâSâ. Welche Höhe xâ hat der Punkt mit λ = 0,5 und ÎŒ = 0,5?
ErklĂ€rung: SâSâ hat die dritte Komponente 4, SâSâ die dritte Komponente 0: xâ = 0 + 0,5 · 0 + 0,5 · 4 = 2. (Der Punkt ist (0 | 1 | 2).)
Welcher der Punkte liegt in E: X = (2; 0; 0) + λ·(â1; 1; 0) + Ό·(â1; 0; 2)?
ErklĂ€rung: P: Die zweite und dritte Zeile geben λ = 1 und ÎŒ = 1, die erste Zeile 0 = 2 â 1 â 1 stimmt. Bei Q folgt λ = 2 und ÎŒ = 0,5, dann wĂ€re xâ = â0,5 statt 0; bei R folgt λ = 1 und ÎŒ = 0,5, dann wĂ€re xâ = 0,5 statt 1.
Der Punkt (3 | 4 | 2) liegt in E: X = (1; 0; 0) + λ·(1; 1; 0) + Ό·(0; 1; 1).
ErklĂ€rung: Dritte Zeile: 2 = ÎŒ. Erste Zeile: 3 = 1 + λ, also λ = 2. Zweite Zeile: 4 = λ + ÎŒ = 2 + 2 stimmt. Alle drei Zeilen sind mit λ = 2 und ÎŒ = 2 erfĂŒllt.
Im Bild scheint P(2,5 | 1,5 | 3) im Segel E: X = (2; 0; 0) + λ·(â1; 1; 0) + Ό·(â1; 0; 2) zu liegen. P liegt tatsĂ€chlich in E.
ErklĂ€rung: Zweite und dritte Zeile: λ = 1,5 und ÎŒ = 1,5, dann mĂŒsste xâ = 2 â 1,5 â 1,5 = â1 sein, nicht 2,5. P liegt nicht in E. Im SchrĂ€gbild sitzt P auf derselben Sichtlinie wie ein Punkt des Segels, schwebt aber davor und darĂŒber.
Der Punkt P(â2 | 3 | 2) liegt in E: X = (2; 0; 0) + λ·(â1; 1; 0) + Ό·(â1; 0; 2). Bestimme λ.
ErklĂ€rung: Die zweite Zeile lautet 3 = 0 + λ · 1 + ÎŒ · 0, also λ = 3. (Dritte Zeile: ÎŒ = 1; erste Zeile zur Probe: 2 â 3 â 1 = â2.)
FĂŒr welchen Wert von a liegt P(a | 2 | 4) in E: X = (2; 0; 0) + λ·(â1; 1; 0) + Ό·(â1; 0; 2)?
ErklĂ€rung: Zweite Zeile: 2 = λ. Dritte Zeile: 4 = 2ÎŒ, also ÎŒ = 2. Erste Zeile: a = 2 â 2 â 2 = â2.
Gegeben ist die Ebene E: X = (2; 0; 0) + λ·(â1; 1; 0) + Ό·(â1; 0; 2). PrĂŒfe rechnerisch, ob die Punkte P(1 | 1 | 1) und Q(0 | 1 | 2) in E liegen. Schreibe jeweils das Gleichungssystem auf.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Zwei Zeilen legen λ und ÎŒ fest, die dritte ist die Probe; erst wenn sie stimmt, liegt der Punkt in der Ebene.