Die Ebene in Parameterform
The plane in parametric form
Eine Ebene wird durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungen festgelegt: E: X = A + λ·u + μ·v mit Stützvektor A und Spannvektoren u, v. Der Abschnitt zeigt, wie man aus drei Punkten die Spannvektoren AB und AC gewinnt, warum die Spannvektoren linear unabhängig sein müssen, und wie die Punktprobe mit zwei Parametern und drei Zeilen arbeitet. Räumt aus, parallele Spannvektoren zu wählen, Ortsvektoren statt Verbindungsvektoren zu nehmen oder einen Punkt nach dem Schrägbild statt nach der Rechnung als „in der Ebene“ zu beurteilen. Bereitet Normalenvektor, Normalen- und Koordinatenform vor.
Stützvektor und zwei Spannvektoren
Eine Ebene braucht einen Punkt und zwei Richtungen. Ist
die Parameterform der Ebene, u und v heißen Spannvektoren. Für A(2 | 0 | 0), u = (−1; 1; 0) und v = (−1; 0; 2) gehört zu (λ | μ) = (1 | 1) der Punkt (0 | 1 | 2). Jedes Paar (λ | μ) liefert genau einen Punkt der Ebene, und jeder Punkt der Ebene gehört zu genau einem Paar. Wären u und v linear abhängig, entstünde nur eine Gerade.
Ebene durch drei Punkte
Das Sonnensegel hängt an S₁(2 | 0 | 0), S₂(0 | 2 | 0) und S₃(0 | 0 | 4). Man wählt einen Punkt als Stützpunkt und bildet die
Verbindungsvektoren zu den beiden anderen:
Die Punktprobe
Liegt P(0 | 1 | 2) im Segel? Man setzt (0; 1; 2) = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2) an: 0 = 2 − λ − μ, 1 = λ, 2 = 2μ. Die zweite und dritte Zeile geben λ = 1 und μ = 1, die erste stimmt: P liegt in E. Für R(1 | 1 | 2) folgt ebenfalls λ = 1 und μ = 1, aber 1 ≠ 0: R liegt nicht in E. Auch hier täuscht das Schrägbild: Ein Punkt kann im Segel zu liegen scheinen und davor oder dahinter schweben.
Voraussetzungen (2)
Ermöglicht (1)
Welche Gleichung beschreibt die Ebene durch A(1 | 1 | 0) mit den Spannvektoren u = (1; 0; 2) und v = (0; 1; 1)?
E: X = (0; 0; 1) + λ·(1; 2; 3) + μ·(2; 4; 7) beschreibt eine Ebene.
Welcher Punkt liegt in E: X = (1; 0; 2) + λ·(2; 1; 0) + μ·(0; 1; 1) für λ = 1 und μ = 2?
Welche Gleichung beschreibt die Ebene durch A(1 | 0 | 0), B(1 | 2 | 1) und C(3 | 0 | 2)?
Die Punkte A(0 | 0 | 0), B(1 | 2 | 3) und C(2 | 4 | 6) bestimmen genau eine Ebene.
Die Ebene des Sonnensegels hat den Stützvektor S₁. Welche Spannvektoren passen?
Welcher der Punkte liegt in E: X = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2)?
Der Punkt (3 | 4 | 2) liegt in E: X = (1; 0; 0) + λ·(1; 1; 0) + μ·(0; 1; 1).
Im Bild scheint P(2,5 | 1,5 | 3) im Segel E: X = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2) zu liegen. P liegt tatsächlich in E.
Für E: X = (2; −1; 3) + λ·(1; 0; 2) + μ·(0; 1; −1) und λ = 2, μ = 3: Welche x₃-Koordinate hat der Punkt?
Die Ebene geht durch A(1 | 0 | 2), B(3 | 1 | 2) und C(1 | 4 | 5). Welche dritte Komponente hat der Spannvektor AC?
Der Punkt P(−2 | 3 | 2) liegt in E: X = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2). Bestimme λ.
Das Sonnensegel liegt in E: X = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2) (Längeneinheit 1 m). Bei λ = 1 ist ein Punkt des Segels 3 m hoch (x₃ = 3). Bestimme μ.
Das Sonnensegel hängt an S₁(2 | 0 | 0), S₂(0 | 2 | 0) und S₃(0 | 0 | 4): E: X = S₁ + λ·S₁S₂ + μ·S₁S₃. Welche Höhe x₃ hat der Punkt mit λ = 0,5 und μ = 0,5?
Für welchen Wert von a liegt P(a | 2 | 4) in E: X = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2)?
Gegeben ist die Ebene E: X = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2). Prüfe rechnerisch, ob die Punkte P(1 | 1 | 1) und Q(0 | 1 | 2) in E liegen. Schreibe jeweils das Gleichungssystem auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.