Lineare AbhÀngigkeit
Welcher Vektor ist von u = (2; â4; 6) linear abhĂ€ngig?
ErklĂ€rung: (â1; 2; â3) = âÂœ · u: Jede Zeile hat den Faktor âÂœ. Bei (2; 4; 6) ist nur das Vorzeichen der zweiten Zeile falsch, bei (1; â2; 4) passen zwei Zeilen (Faktor Âœ), die dritte nicht.
Die Vektoren u = (1; 0; 2) und v = (3; 1; 6) sind linear abhÀngig.
ErklĂ€rung: Die erste und dritte Zeile haben den Faktor 3, aber in der zweiten wĂ€re 3 · 0 = 0 â 1. Steht in u eine 0, muss auch v an dieser Stelle 0 sein.
Welche beiden der eingezeichneten Vektoren a = (1; 2; 2), b = (2; 4; 4) und c = (1; â1; â1) sind linear abhĂ€ngig?
ErklĂ€rung: b = 2 · a: Beide haben in jeder Zeile den Faktor 2. Im SchrĂ€gbild sieht auch c parallel aus, aber das tĂ€uscht: Aus 1 = k · 1 folgt k = 1, in der zweiten Zeile wĂ€re dann 2 â â1, also ist c kein Vielfaches von a und keines von b.
FĂŒr u = (2; â3; 5) und v = (â6; 9; â15) gilt v = k · u. Bestimme k.
ErklĂ€rung: Erste Zeile: â6 = k · 2, also k = â3. Probe: â3 · (â3) = 9 und â3 · 5 = â15.
FĂŒr welchen Wert von t sind u = (1; 2; 3) und v = (2; 4; t) linear abhĂ€ngig?
ErklÀrung: Die ersten Zeilen geben den Faktor 2 (2 = 2 · 1, 4 = 2 · 2), also t = 2 · 3 = 6.
Welcher Vektor liegt in der von u = (1; 0; 1) und v = (0; 1; 1) aufgespannten Ebene, ist also von u und v linear abhÀngig?
ErklĂ€rung: (2; 3; 5) = 2 · u + 3 · v. Bei (2; 3; 6) mĂŒsste die dritte Zeile 5 sein, bei (1; 1; 1) mĂŒsste sie 2 sein.
Die Vektoren u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0) und w = (1; 1; 0) sind linear unabhÀngig, denn keiner ist ein Vielfaches eines anderen.
ErklĂ€rung: Es gilt w = u + v: Der dritte Vektor liegt in der Ebene der ersten beiden, die drei sind komplanar und damit abhĂ€ngig. âKein Vielfachesâ reicht bei drei Vektoren nicht.
FĂŒr welchen Wert von t liegt w = (2; 3; t) in der Ebene von u = (1; 0; 1) und v = (0; 1; 1)?
ErklÀrung: Die ersten beiden Zeilen legen w = 2 · u + 3 · v fest, damit ist t = 2 + 3 = 5.
FĂŒr welchen Wert von k sind u = (1; 1; 0), v = (0; 1; 1) und w = (k; 3; 2) linear abhĂ€ngig?
ErklÀrung: Ansatz w = r · u + s · v: k = r, 3 = r + s, 2 = s. Also s = 2, r = 1 und k = 1.
Welche Darstellung von w = (4; 1; 5) durch u = (2; 0; 1) und v = (0; 1; 3) ist richtig?
ErklÀrung: 2 · (2; 0; 1) + 1 · (0; 1; 3) = (4; 1; 5). Bei 1·u + 2·v ergibt sich (2; 2; 7), bei 4·u + 1·v (8; 1; 7): Die Koeffizienten sind nicht die Komponenten von w.
Es gilt (5; 4; 7) = 2·(1; 0; 1) + 4·(1; 1; 1).
ErklÀrung: 2 · (1; 0; 1) + 4 · (1; 1; 1) = (2 + 4; 0 + 4; 2 + 4) = (6; 4; 6), nicht (5; 4; 7).
Im Bild ist w die Diagonale des Parallelogramms, das u und v aufspannen. Welche Darstellung von w passt?
ErklĂ€rung: Die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt fĂŒhrt ĂŒber u und dann ĂŒber v zum Eckpunkt: w = 1 · u + 1 · v. u â v wĂ€re die andere Diagonale, 2 · u + v wĂ€re bei doppelter LĂ€nge von u erreicht.
Es gilt (3; 2; 12) = r · (1; 0; 2) + s · (0; 1; 3). Bestimme r.
ErklÀrung: Erste Zeile: 3 = r · 1 + s · 0, also r = 3. (Zweite Zeile: s = 2; dritte Zeile Probe: 6 + 6 = 12.)
Es gilt (2; 5; 5) = r · (1; 2; 1) + s · (0; 1; 3). Berechne r + s.
ErklÀrung: Erste Zeile: r = 2. Zweite Zeile: 5 = 2 · 2 + s, also s = 1. Dritte Zeile als Probe: 2 + 3 = 5. Damit r + s = 3.
Gegeben sind u = (1; 2; 0), v = (0; 1; 1), w = (2; 7; 3) und wâČ = (2; 7; 4). Untersuche fĂŒr w und fĂŒr wâČ, ob sie sich als Linearkombination r·u + s·v schreiben lassen, und entscheide jeweils, ob u, v und der Vektor linear abhĂ€ngig sind.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Zwei Zeilen legen r und s fest; erst die dritte Zeile entscheidet, ob der Vektor in der Ebene von u und v liegt.