Lineare Abhängigkeit

Linear dependence

Mathematik Klasse 13 15 Aufgaben

GeometrieVektorenLineare Abhängigkeit

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist, ihre Pfeile also auf einer Geraden liegen; drei Vektoren sind es, wenn einer eine Linearkombination der beiden anderen ist, die Pfeile also in einer Ebene liegen (komplanar). Der Abschnitt macht daraus einen Test mit Quotienten beziehungsweise einem kleinen Gleichungssystem und zeigt, wie man w = r·u + s·v ansetzt. Räumt aus, nur zwei Zeilen zu prüfen, Nullkomponenten zu übersehen oder drei Vektoren ohne Vielfache für unabhängig zu halten. Bereitet die Parallelität von Geraden und die Spannvektoren einer Ebene vor.

Vielfache und Parallelität

Zwei Vektoren u und v heißen linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $v = k \cdot u$ . Ihre Pfeile liegen dann auf einer gemeinsamen Geraden. Ein Vektor und sein Gegenvektor sind abhängig (k = −1), der Nullvektor ist es zu jedem Vektor. Für $u = (1; 2; 1)$ und $v = (- 2; - 4; - 2)$ gilt $k = - 2$ : Jede Zeile hat denselben Faktor.

Bei Vektoren ungleich dem Nullvektor muss in einer Zeile mit einer 0 auch die andere Zahl 0 sein: (1; 0; 2) und (3; 1; 6) sind unabhängig, obwohl 3 : 1 und 6 : 2 übereinstimmen. Ist kein Vielfaches möglich, heißen die Vektoren linear unabhängig.

Verändere k. Auf welcher Geraden liegt v immer, und was passiert bei k = 0?

Ebene und Linearkombination

Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer als Linearkombination der anderen schreiben lässt: w = r·u + s·v. Dann liegen alle drei Pfeile in einer Ebene, sie sind komplanar. Für u = (1; 0; 1), v = (0; 1; 1) und w = (2; 3; 5) liefert der Ansatz drei Gleichungen: 2 = r, 3 = s, 5 = r + s. Die ersten beiden legen r = 2 und s = 3 fest, die dritte stimmt: w = 2·u + 3·v.

Stimmt die dritte Zeile nicht, ragt w aus der Ebene von u und v heraus. Dann sind die drei Vektoren unabhängig und spannen den ganzen Raum auf. Kein Vielfaches zu sein reicht also nicht: w = u + v ist keines von beiden und doch abhängig.

Wähle r und s. Wo liegt w, egal welche Zahlen du einstellst?

Ermöglicht (2)

Die Ebene in Parameterform

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Vektor ist von u = (2; −4; 6) linear abhängig?

● (−1; 2; −3)
○ (2; 4; 6)
○ (1; −2; 4)

(−1; 2; −3) = −½ · u: Jede Zeile hat den Faktor −½. Bei (2; 4; 6) ist nur das Vorzeichen der zweiten Zeile falsch, bei (1; −2; 4) passen zwei Zeilen (Faktor ½), die dritte nicht.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Vektoren u = (1; 0; 2) und v = (3; 1; 6) sind linear abhängig.

✓ Falsch

Die erste und dritte Zeile haben den Faktor 3, aber in der zweiten wäre 3 · 0 = 0 ≠ 1. Steht in u eine 0, muss auch v an dieser Stelle 0 sein.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche beiden der eingezeichneten Vektoren a = (1; 2; 2), b = (2; 4; 4) und c = (1; −1; −1) sind linear abhängig?

● a und b
○ a und c
○ b und c

b = 2 · a: Beide haben in jeder Zeile den Faktor 2. Im Schrägbild sieht auch c parallel aus, aber das täuscht: Aus 1 = k · 1 folgt k = 1, in der zweiten Zeile wäre dann 2 ≠ −1, also ist c kein Vielfaches von a und keines von b.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher Vektor liegt in der von u = (1; 0; 1) und v = (0; 1; 1) aufgespannten Ebene, ist also von u und v linear abhängig?

● (2; 3; 5)
○ (2; 3; 6)
○ (1; 1; 1)

(2; 3; 5) = 2 · u + 3 · v. Bei (2; 3; 6) müsste die dritte Zeile 5 sein, bei (1; 1; 1) müsste sie 2 sein.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Vektoren u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0) und w = (1; 1; 0) sind linear unabhängig, denn keiner ist ein Vielfaches eines anderen.

✓ Falsch

Es gilt w = u + v: Der dritte Vektor liegt in der Ebene der ersten beiden, die drei sind komplanar und damit abhängig. „Kein Vielfaches“ reicht bei drei Vektoren nicht.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Darstellung von w = (4; 1; 5) durch u = (2; 0; 1) und v = (0; 1; 3) ist richtig?

● w = 2·u + 1·v
○ w = 1·u + 2·v
○ w = 4·u + 1·v

2 · (2; 0; 1) + 1 · (0; 1; 3) = (4; 1; 5). Bei 1·u + 2·v ergibt sich (2; 2; 7), bei 4·u + 1·v (8; 1; 7): Die Koeffizienten sind nicht die Komponenten von w.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Es gilt (5; 4; 7) = 2·(1; 0; 1) + 4·(1; 1; 1).

✓ Falsch

2 · (1; 0; 1) + 4 · (1; 1; 1) = (2 + 4; 0 + 4; 2 + 4) = (6; 4; 6), nicht (5; 4; 7).

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Im Bild ist w die Diagonale des Parallelogramms, das u und v aufspannen. Welche Darstellung von w passt?

● w = u + v
○ w = u − v
○ w = 2·u + v

Die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt führt über u und dann über v zum Eckpunkt: w = 1 · u + 1 · v. u − v wäre die andere Diagonale, 2 · u + v wäre bei doppelter Länge von u erreicht.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Für u = (2; −3; 5) und v = (−6; 9; −15) gilt v = k · u. Bestimme k.

✓ Antwort: -3

Erste Zeile: −6 = k · 2, also k = −3. Probe: −3 · (−3) = 9 und −3 · 5 = −15.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für welchen Wert von t liegt w = (2; 3; t) in der Ebene von u = (1; 0; 1) und v = (0; 1; 1)?

✓ Antwort: 5

Die ersten beiden Zeilen legen w = 2 · u + 3 · v fest, damit ist t = 2 + 3 = 5.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Es gilt (3; 2; 12) = r · (1; 0; 2) + s · (0; 1; 3). Bestimme r.

✓ Antwort: 3

Erste Zeile: 3 = r · 1 + s · 0, also r = 3. (Zweite Zeile: s = 2; dritte Zeile Probe: 6 + 6 = 12.)

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von t sind u = (1; 2; 3) und v = (2; 4; t) linear abhängig?

✓ Antwort: 6

Die ersten Zeilen geben den Faktor 2 (2 = 2 · 1, 4 = 2 · 2), also t = 2 · 3 = 6.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von k sind u = (1; 1; 0), v = (0; 1; 1) und w = (k; 3; 2) linear abhängig?

✓ Antwort: 1

Ansatz w = r · u + s · v: k = r, 3 = r + s, 2 = s. Also s = 2, r = 1 und k = 1.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es gilt (2; 5; 5) = r · (1; 2; 1) + s · (0; 1; 3). Berechne r + s.

✓ Antwort: 3

Erste Zeile: r = 2. Zweite Zeile: 5 = 2 · 2 + s, also s = 1. Dritte Zeile als Probe: 2 + 3 = 5. Damit r + s = 3.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben sind u = (1; 2; 0), v = (0; 1; 1), w = (2; 7; 3) und w′ = (2; 7; 4). Untersuche für w und für w′, ob sie sich als Linearkombination r·u + s·v schreiben lassen, und entscheide jeweils, ob u, v und der Vektor linear abhängig sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Ansatz w = r·u + s·v: 2 = r, 7 = 2r + s, 3 = s. Aus der ersten Zeile r = 2, aus der dritten s = 3, die zweite Zeile stimmt (4 + 3 = 7): w = 2·u + 3·v, also sind u, v, w linear abhängig. Für w′: r = 2 und s = 4 aus Zeile 1 und 3, aber 2r + s = 8 ≠ 7: keine Darstellung, u, v, w′ sind linear unabhängig.

Zwei Zeilen legen r und s fest; erst die dritte Zeile entscheidet, ob der Vektor in der Ebene von u und v liegt.