Normalen- und Koordinatenform
Welcher Vektor steht senkrecht auf u = (1; 2; 0) und auf v = (0; 1; 1)?
Erklärung: Proben: (2; −1; 1)·(1; 2; 0) = 2 − 2 = 0 und (2; −1; 1)·(0; 1; 1) = −1 + 1 = 0. Bei (−2; 1; 1) stimmt die Probe mit v nicht (1 + 1 = 2), (1; 3; 1) = u + v steht auf keinem der beiden senkrecht.
n = (1; 1; 1) ist ein Normalenvektor der Ebene mit den Spannvektoren u = (1; −1; 0) und v = (0; 1; −1).
Erklärung: n·u = 1 − 1 + 0 = 0 und n·v = 0 + 1 − 1 = 0: n steht auf beiden Spannvektoren senkrecht.
Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene durch S₁, S₂ und S₃?
Erklärung: S₁S₂ × S₁S₃ = (−2; 2; 0) × (−2; 0; 4) = (8; 8; 4) = 4 · (2; 2; 1). (−2; 2; 0) ist ein Spannvektor und liegt in der Ebene, (2; 2; 4) enthält die Achsenabschnitte statt eines senkrechten Vektors.
Berechne die erste Komponente von u × v für u = (1; 2; 3) und v = (2; 0; 1).
Erklärung: (u × v)₁ = u₂v₃ − u₃v₂ = 2 · 1 − 3 · 0 = 2.
Die Ebene hat die Spannvektoren u = (1; 0; 2) und v = (0; 1; 3). Ein Normalenvektor hat die Form n = (a; b; 1). Bestimme a.
Erklärung: n = u × v = (0 · 3 − 2 · 1; 2 · 0 − 1 · 3; 1 · 1 − 0 · 0) = (−2; −3; 1). Also a = −2 (und b = −3). Probe: n·u = −2 + 0 + 2 = 0.
Welche Gleichung ist die Normalenform der Ebene durch A(1 | 2 | 3) mit dem Normalenvektor n = (2; −1; 4)?
Erklärung: Normalenvektor n vor dem Malpunkt, dahinter X − A: Der Vektor AX muss senkrecht auf n stehen. Bei „n·X = 0“ fehlt das Abziehen von A (das wäre eine Ebene durch den Ursprung), in der dritten Gleichung sind n und A vertauscht.
Welcher Punkt liegt in der Ebene E: (2; 2; 1)·(X − (2; 0; 0)) = 0?
Erklärung: P: X − A = (−1; 1; 0), und (2; 2; 1)·(−1; 1; 0) = −2 + 2 + 0 = 0. Bei Q ist (−2; 0; 1) das Ergebnis −3, bei R ist (0; 1; 1) das Ergebnis 3: nicht senkrecht auf n.
Berechne n·(X − A) für n = (2; 1; 0), A(1 | 1 | 1) und X(3 | 2 | 5).
Erklärung: X − A = (2; 1; 4), und n·(X − A) = 2 · 2 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5. Das ist nicht 0: X liegt nicht in der Ebene.
Die Ebene E hat den Normalenvektor n = (1; 2; −1) und enthält A(3 | 0 | 2). Der Punkt X(5 | y | 3) liegt in E. Bestimme y.
Erklärung: X − A = (2; y; 1). n·(X − A) = 2 + 2y − 1 = 0, also 2y = −1 und y = −0,5.
Welche Koordinatenform hat die Ebene mit dem Normalenvektor n = (1; −2; 3) durch A(2 | 1 | 1)?
Erklärung: Die Koeffizienten sind die Komponenten von n, und d = n·A = 1 · 2 − 2 · 1 + 3 · 1 = 3. Bei „= 0“ wurde d vergessen (Ebene durch den Ursprung), die dritte Gleichung nimmt die Koordinaten von A als Koeffizienten.
Die Ebene 3x₁ − x₂ + 2x₃ = 5 hat den Normalenvektor (3; 1; 2).
Erklärung: Der Koeffizient von x₂ ist −1: Der Normalenvektor ist (3; −1; 2). Die Vorzeichen der Koeffizienten gehören zum Normalenvektor, die 5 dagegen nicht.
Die Ebene 2x₁ − x₂ + 3x₃ = d geht durch A(1 | 4 | 2). Bestimme d.
Erklärung: d = 2 · 1 − 4 + 3 · 2 = 4.
Die Ebene mit dem Normalenvektor n = (1; 2; c) durch A(1 | 1 | 1) hat die Koordinatenform x₁ + 2x₂ + c·x₃ = 7. Bestimme c.
Erklärung: d = n·A = 1 · 1 + 2 · 1 + c · 1 = 3 + c. Aus 3 + c = 7 folgt c = 4.
Welcher Punkt liegt in der Ebene E: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4?
Erklärung: P: 2 · 1 + 2 · 1 + 0 = 4. Q: 4 + 2 + 1 = 7 (die Koordinatensumme 4 ist unerheblich), R: 2 + 4 − 1 = 5.
Im Bild scheint P(3 | 1,5 | 2) im Segel E: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4 zu liegen. P liegt tatsächlich in E.
Erklärung: Einsetzen: 2 · 3 + 2 · 1,5 + 2 = 11 ≠ 4. P liegt nicht in E: Im Schrägbild sitzt P auf derselben Sichtlinie wie der Segelpunkt (1 | 0,5 | 1), aber weiter vorn und höher.
Setze P(2 | −1 | 3) in 3x₁ + 2x₂ − x₃ ein. Welchen Wert hat die linke Seite?
Erklärung: 3 · 2 + 2 · (−1) − 3 = 6 − 2 − 3 = 1.
Für welchen Wert von t liegt P(t | 2 | 1) in der Ebene 2x₁ − x₂ + 4x₃ = 10?
Erklärung: Einsetzen: 2t − 2 + 4 = 10, also 2t = 8 und t = 4.
Eine Ebene E geht durch A(1 | 0 | 0), B(1 | 2 | 1) und C(3 | 0 | 2). Bestimme einen Normalenvektor, die Normalenform und die Koordinatenform von E und prüfe, ob P(2 | 0 | 1) in E liegt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Aus den Spannvektoren folgt n; d = n·A; die Punktprobe in Koordinatenform ist eine Zeile.