Normalen- und Koordinatenform
Normal and coordinate form
Eine Ebene lässt sich auch durch einen Vektor n beschreiben, der senkrecht auf ihr steht: Der Normalenvektor folgt aus n·u = 0 und n·v = 0 oder aus dem Vektorprodukt u × v, die Normalenform lautet n·(X − A) = 0, die Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d mit d = n·A. Der Abschnitt zeigt, wie man die Koeffizienten als Normalenvektor abliest und die Punktprobe in einer Zeile führt. Räumt aus, einen Spannvektor oder die Spurpunkt-Koordinaten für den Normalenvektor zu halten, X statt X − A zu schreiben und d zu vergessen. Bereitet die besondere Lage aus der Gleichung, Spurpunkte, Schnittwinkel und die Hesse’sche Normalform vor.
Der Normalenvektor
Kürzer als mit zwei Spannvektoren beschreibt man eine Ebene mit einem Vektor
Die Normalenform
Ein Punkt X liegt genau dann in der Ebene durch
Die Koordinatenform
Multipliziert man die Normalenform aus, entsteht n·X = n·A. Mit d = n·A ergibt das die Koordinatenform
Die Punktprobe geht damit in einer Zeile: Für P(0 | 1 | 2) gilt 0 + 2 + 2 = 4, P liegt in E. Für R(1 | 1 | 2) ist die linke Seite 6, R liegt nicht in E.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Welcher Vektor steht senkrecht auf u = (1; 2; 0) und auf v = (0; 1; 1)?
n = (1; 1; 1) ist ein Normalenvektor der Ebene mit den Spannvektoren u = (1; −1; 0) und v = (0; 1; −1).
Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene durch S₁, S₂ und S₃?
Welche Gleichung ist die Normalenform der Ebene durch A(1 | 2 | 3) mit dem Normalenvektor n = (2; −1; 4)?
Welcher Punkt liegt in der Ebene E: (2; 2; 1)·(X − (2; 0; 0)) = 0?
Welche Koordinatenform hat die Ebene mit dem Normalenvektor n = (1; −2; 3) durch A(2 | 1 | 1)?
Die Ebene 3x₁ − x₂ + 2x₃ = 5 hat den Normalenvektor (3; 1; 2).
Welcher Punkt liegt in der Ebene E: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4?
Im Bild scheint P(3 | 1,5 | 2) im Segel E: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4 zu liegen. P liegt tatsächlich in E.
Berechne die erste Komponente von u × v für u = (1; 2; 3) und v = (2; 0; 1).
Berechne n·(X − A) für n = (2; 1; 0), A(1 | 1 | 1) und X(3 | 2 | 5).
Die Ebene 2x₁ − x₂ + 3x₃ = d geht durch A(1 | 4 | 2). Bestimme d.
Setze P(2 | −1 | 3) in 3x₁ + 2x₂ − x₃ ein. Welchen Wert hat die linke Seite?
Die Ebene hat die Spannvektoren u = (1; 0; 2) und v = (0; 1; 3). Ein Normalenvektor hat die Form n = (a; b; 1). Bestimme a.
Die Ebene E hat den Normalenvektor n = (1; 2; −1) und enthält A(3 | 0 | 2). Der Punkt X(5 | y | 3) liegt in E. Bestimme y.
Die Ebene mit dem Normalenvektor n = (1; 2; c) durch A(1 | 1 | 1) hat die Koordinatenform x₁ + 2x₂ + c·x₃ = 7. Bestimme c.
Für welchen Wert von t liegt P(t | 2 | 1) in der Ebene 2x₁ − x₂ + 4x₃ = 10?
Eine Ebene E geht durch A(1 | 0 | 0), B(1 | 2 | 1) und C(3 | 0 | 2). Bestimme einen Normalenvektor, die Normalenform und die Koordinatenform von E und prüfe, ob P(2 | 0 | 1) in E liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.