Parallele Geraden
Welche Gerade ist zu g: X = (1; 0; 2) + λ·(2; â1; 4) parallel (oder gleich g)?
ErklĂ€rung: (4; â2; 8) = 2 · (2; â1; 4): gleiche Richtung, der StĂŒtzpunkt spielt fĂŒr die ParallelitĂ€t keine Rolle. Bei der zweiten Gleichung Ă€ndert sich in der Richtung ein Vorzeichen, bei der dritten passen nur zwei der drei Zeilen (Faktor 2, aber 7 â 8).
Die Richtungsvektoren (2; 0; 4) und (1; 1; 2) sind linear abhÀngig, also gilt g ℠h oder g = h.
ErklĂ€rung: Die erste und dritte Zeile passen mit dem Faktor Âœ (1 = Âœ · 2 und 2 = Âœ · 4), die mittlere nicht: 1 = Âœ · 0 ist falsch. Die Vektoren sind linear unabhĂ€ngig, g und h sind nicht parallel.
Welche der eingezeichneten Geraden ist zu g parallel?
ErklĂ€rung: Parallele Geraden haben Richtungsvektoren, die Vielfache voneinander sind, und im SchrĂ€gbild bleiben Parallelen parallel. hâ und g haben dieselbe Richtung; hâ und hâ haben sichtbar andere Richtungen.
Die Geraden g und h sind parallel, g hat den Richtungsvektor (2; â1; 4), h den Richtungsvektor (â6; 3; k). Bestimme k.
ErklĂ€rung: Erste Zeile: â6 = â3 · 2, der Faktor ist â3. Dritte Zeile: k = â3 · 4 = â12. (Zweite Zeile zur Probe: â3 · (â1) = 3.)
FĂŒr g: X = (0; 1; 2) + λ·(1; 2; a) und h: X = (3; 3; 0) + Ό·(2; b; 6) gilt g â„ h. Berechne a + b.
ErklÀrung: Der Faktor ist 2 (erste Zeile: 2 = 2 · 1). Zweite Zeile: b = 2 · 2 = 4, dritte Zeile: 6 = 2 · a, also a = 3. Damit a + b = 7.
Wie liegen g: X = (0; 1; 2) + λ·(2; â2; 4) und h: X = (1; 0; 4) + Ό·(â1; 1; â2) zueinander?
ErklĂ€rung: Die Richtungen sind Vielfache ((â1; 1; â2) = âÂœ · (2; â2; 4)). Punktprobe mit (1 | 0 | 4) in g: 1 = 2λ gibt λ = Âœ, dann stimmen auch 0 = 1 â 2λ und 4 = 2 + 4λ. Der StĂŒtzpunkt von h liegt auf g, also g = h.
Die Geraden g: X = (0; 0; 0) + λ·(1; 1; 1) und h: X = (1; 2; 3) + Ό·(2; 2; 2) sind identisch.
ErklÀrung: Die Richtungen sind Vielfache. Aber (1 | 2 | 3) liegt nicht auf g: 1 = λ, 2 = λ ergeben keine gemeinsame Zahl. Die Geraden sind echt parallel.
Wie liegen g: X = (1; 1; 0) + λ·(2; 0; 1) und h: X = (5; 1; 3) + Ό·(â4; 0; â2) zueinander?
ErklĂ€rung: (â4; 0; â2) = â2 · (2; 0; 1): parallel oder identisch. Punktprobe mit (5 | 1 | 3) in g: 5 = 1 + 2λ gibt λ = 2, 1 = 1 stimmt, aber 3 = 0 + λ verlangt λ = 3. Kein gemeinsames λ, also echt parallel.
Der StĂŒtzpunkt B(5 | 1 | 2) von h wird in g: X = (1; 1; 0) + λ·(2; 0; 1) eingesetzt. Welches λ ergibt die erste Zeile?
ErklÀrung: 5 = 1 + 2λ ergibt λ = 2. Probe der dritten Zeile: 2 = 0 + λ stimmt ebenfalls.
Die Geraden g: X = (1; 2; 3) + λ·(1; â1; 2) und h: X = (3; 0; b) + Ό·(2; â2; 4) sind identisch. Bestimme b.
ErklĂ€rung: Der StĂŒtzpunkt (3 | 0 | b) muss auf g liegen. 3 = 1 + λ gibt λ = 2, die zweite Zeile 0 = 2 â λ bestĂ€tigt es. Dann b = 3 + 2 · 2 = 7.
Welche Gerade geht durch P(2 | 0 | 3) und ist parallel zu g: X = (1; 1; 1) + λ·(3; â1; 2)?
ErklĂ€rung: Der StĂŒtzvektor ist der neue Punkt P, der Richtungsvektor bleibt (3; â1; 2). In der zweiten Gleichung sind die Rollen vertauscht (P als Richtung), in der dritten wurde der StĂŒtzvektor von g als Richtung genommen.
Die Gerade h: X = (0; 0; 5) + Ό·(â3; 1; â2) ist die Parallele zu g: X = (4; 2; 1) + λ·(3; â1; 2) durch P(0 | 0 | 5).
ErklĂ€rung: (â3; 1; â2) = â1 · (3; â1; 2): gleiche Richtung wie g, und h geht durch P. Auch das Gegenteil des Richtungsvektors ist ein gĂŒltiger Richtungsvektor.
h ist die Parallele zu g: X = (1; 1; 1) + λ·(3; â1; 2) durch P(2 | 0 | 3). Welche xâ-Koordinate hat der Punkt von h mit ÎŒ = 2?
ErklĂ€rung: h: X = (2; 0; 3) + ÎŒ · (3; â1; 2). FĂŒr ÎŒ = 2 ist xâ = 0 + 2 · (â1) = â2.
Drohne 1 fliegt auf g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1). Drohne 2 startet in B(0 | 2 | 0) und fliegt parallel zu g mit demselben Richtungsvektor. Welche xâ-Koordinate hat sie, wenn sie die Höhe xâ = 5 erreicht?
ErklĂ€rung: Bahn von Drohne 2: X = (0; 2; 0) + Ό·(1; 2; 1). Höhe xâ = 5 verlangt ÎŒ = 5, dann ist xâ = 2 + 5 · 2 = 12.
Gegeben sind g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (0; â2; 0) + Ό·(2; 4; 2). Untersuche, ob g und h parallel, identisch oder weder noch sind. Gib auĂerdem eine Gleichung der Parallelen k zu g durch P(2 | 3 | 4) an und entscheide, ob k mit g identisch ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Erst die Richtungsvektoren, dann die Punktprobe: Sie trennt identisch von echt parallel.