Parallele Geraden

Parallel lines

Mathematik Klasse 13 15 Aufgaben
GeometrieGeradenAnalytische Geometrie

Zwei Geraden sind parallel oder identisch, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind; welcher der beiden Fälle vorliegt, entscheidet die Punktprobe mit dem Stützpunkt der zweiten Geraden. Der Abschnitt macht daraus den ersten Schritt einer systematischen Entscheidung über die Lage zweier Geraden und zeigt, wie man eine Parallele durch einen Punkt aufstellt. Räumt aus, Parallelität an zwei von drei Komponenten oder am gleichen Stützpunkt festzumachen und „parallel“ mit „identisch“ zu verwechseln. Bereitet die Entscheidung zwischen schneidend und windschief vor.

Die zweite Drohne fliegt auf h: X = B + μ·v, die erste auf g: X = A + λ·u. Sind die Bahnen parallel? Das entscheiden die Richtungsvektoren: Sind u und v linear abhängig, gilt g ∥ h oder g = h, sonst sind g und h nicht parallel. Für u = (1; 2; 1) und v = (2; 4; 2) ist v = 2·u.

Ob die Geraden verschieden oder identisch sind, klärt die Punktprobe: Liegt der Stützpunkt B von h auf g? Für B(0 | −2 | 0) passt λ = −1 in allen Zeilen, also g = h. Für B(0 | −2 | 1) stimmt die dritte Zeile nicht: g und h sind echt parallel und haben keinen Punkt gemeinsam.

Eine Parallele zu g durch einen Punkt P baut man selbst: Stützvektor ist P, Richtungsvektor der von g.

Verschiebe B in x₃-Richtung. Bei welchem Wert fallen g und h zusammen?

Voraussetzungen (2)

Die Geradengleichung
Klasse 13
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Lineare Abhängigkeit
Klasse 13
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Ermöglicht (1)

Schneidend oder windschief
Klasse 13
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Gerade ist zu g: X = (1; 0; 2) + λ·(2; −1; 4) parallel (oder gleich g)?

  • ● X = (5; 5; 5) + μ·(4; −2; 8)
  • ○ X = (1; 0; 2) + μ·(2; 1; 4)
  • ○ X = (3; −1; 6) + μ·(4; −2; 7)
(4; −2; 8) = 2 · (2; −1; 4): gleiche Richtung, der Stützpunkt spielt für die Parallelität keine Rolle. Bei der zweiten Gleichung ändert sich in der Richtung ein Vorzeichen, bei der dritten passen nur zwei der drei Zeilen (Faktor 2, aber 7 ≠ 8).
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Richtungsvektoren (2; 0; 4) und (1; 1; 2) sind linear abhängig, also gilt g ∥ h oder g = h.

✓ Falsch
Die erste und dritte Zeile passen mit dem Faktor ½ (1 = ½ · 2 und 2 = ½ · 4), die mittlere nicht: 1 = ½ · 0 ist falsch. Die Vektoren sind linear unabhängig, g und h sind nicht parallel.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche der eingezeichneten Geraden ist zu g parallel?

  • ● h₂
  • ○ h₁
  • ○ h₃
Parallele Geraden haben Richtungsvektoren, die Vielfache voneinander sind, und im Schrägbild bleiben Parallelen parallel. h₂ und g haben dieselbe Richtung; h₁ und h₃ haben sichtbar andere Richtungen.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie liegen g: X = (0; 1; 2) + λ·(2; −2; 4) und h: X = (1; 0; 4) + μ·(−1; 1; −2) zueinander?

  • ● identisch
  • ○ echt parallel
  • ○ schneidend
Die Richtungen sind Vielfache ((−1; 1; −2) = −½ · (2; −2; 4)). Punktprobe mit (1 | 0 | 4) in g: 1 = 2λ gibt λ = ½, dann stimmen auch 0 = 1 − 2λ und 4 = 2 + 4λ. Der Stützpunkt von h liegt auf g, also g = h.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Geraden g: X = (0; 0; 0) + λ·(1; 1; 1) und h: X = (1; 2; 3) + μ·(2; 2; 2) sind identisch.

✓ Falsch
Die Richtungen sind Vielfache. Aber (1 | 2 | 3) liegt nicht auf g: 1 = λ, 2 = λ ergeben keine gemeinsame Zahl. Die Geraden sind echt parallel.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie liegen g: X = (1; 1; 0) + λ·(2; 0; 1) und h: X = (5; 1; 3) + μ·(−4; 0; −2) zueinander?

  • ● echt parallel
  • ○ identisch
  • ○ schneidend
(−4; 0; −2) = −2 · (2; 0; 1): parallel oder identisch. Punktprobe mit (5 | 1 | 3) in g: 5 = 1 + 2λ gibt λ = 2, 1 = 1 stimmt, aber 3 = 0 + λ verlangt λ = 3. Kein gemeinsames λ, also echt parallel.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Gerade geht durch P(2 | 0 | 3) und ist parallel zu g: X = (1; 1; 1) + λ·(3; −1; 2)?

  • ● X = (2; 0; 3) + μ·(3; −1; 2)
  • ○ X = (1; 1; 1) + μ·(2; 0; 3)
  • ○ X = (2; 0; 3) + μ·(1; 1; 1)
Der Stützvektor ist der neue Punkt P, der Richtungsvektor bleibt (3; −1; 2). In der zweiten Gleichung sind die Rollen vertauscht (P als Richtung), in der dritten wurde der Stützvektor von g als Richtung genommen.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Gerade h: X = (0; 0; 5) + μ·(−3; 1; −2) ist die Parallele zu g: X = (4; 2; 1) + λ·(3; −1; 2) durch P(0 | 0 | 5).

✓ Wahr
(−3; 1; −2) = −1 · (3; −1; 2): gleiche Richtung wie g, und h geht durch P. Auch das Gegenteil des Richtungsvektors ist ein gültiger Richtungsvektor.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Die Geraden g und h sind parallel, g hat den Richtungsvektor (2; −1; 4), h den Richtungsvektor (−6; 3; k). Bestimme k.

✓ Antwort: -12
Erste Zeile: −6 = −3 · 2, der Faktor ist −3. Dritte Zeile: k = −3 · 4 = −12. (Zweite Zeile zur Probe: −3 · (−1) = 3.)
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Der Stützpunkt B(5 | 1 | 2) von h wird in g: X = (1; 1; 0) + λ·(2; 0; 1) eingesetzt. Welches λ ergibt die erste Zeile?

✓ Antwort: 2
5 = 1 + 2λ ergibt λ = 2. Probe der dritten Zeile: 2 = 0 + λ stimmt ebenfalls.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

h ist die Parallele zu g: X = (1; 1; 1) + λ·(3; −1; 2) durch P(2 | 0 | 3). Welche x₂-Koordinate hat der Punkt von h mit μ = 2?

✓ Antwort: -2
h: X = (2; 0; 3) + μ · (3; −1; 2). Für μ = 2 ist x₂ = 0 + 2 · (−1) = −2.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für g: X = (0; 1; 2) + λ·(1; 2; a) und h: X = (3; 3; 0) + μ·(2; b; 6) gilt g ∥ h. Berechne a + b.

✓ Antwort: 7
Der Faktor ist 2 (erste Zeile: 2 = 2 · 1). Zweite Zeile: b = 2 · 2 = 4, dritte Zeile: 6 = 2 · a, also a = 3. Damit a + b = 7.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Geraden g: X = (1; 2; 3) + λ·(1; −1; 2) und h: X = (3; 0; b) + μ·(2; −2; 4) sind identisch. Bestimme b.

✓ Antwort: 7
Der Stützpunkt (3 | 0 | b) muss auf g liegen. 3 = 1 + λ gibt λ = 2, die zweite Zeile 0 = 2 − λ bestätigt es. Dann b = 3 + 2 · 2 = 7.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Drohne 1 fliegt auf g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1). Drohne 2 startet in B(0 | 2 | 0) und fliegt parallel zu g mit demselben Richtungsvektor. Welche x₂-Koordinate hat sie, wenn sie die Höhe x₃ = 5 erreicht?

✓ Antwort: 12
Bahn von Drohne 2: X = (0; 2; 0) + μ·(1; 2; 1). Höhe x₃ = 5 verlangt μ = 5, dann ist x₂ = 2 + 5 · 2 = 12.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben sind g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (0; −2; 0) + μ·(2; 4; 2). Untersuche, ob g und h parallel, identisch oder weder noch sind. Gib außerdem eine Gleichung der Parallelen k zu g durch P(2 | 3 | 4) an und entscheide, ob k mit g identisch ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (2; 4; 2) = 2 · (1; 2; 1): g ∥ h oder g = h. Punktprobe mit (0 | −2 | 0) in g: 0 = 1 + λ gibt λ = −1, dann −2 = 2 · (−1) und 0 = 1 − 1: stimmt in allen Zeilen, also g = h. k: X = (2; 3; 4) + ν·(1; 2; 1). P in g? 2 = 1 + λ gibt λ = 1, aber 3 = 2 · 1 = 2 ist falsch: P liegt nicht auf g, also ist k echt parallel zu g.
Erst die Richtungsvektoren, dann die Punktprobe: Sie trennt identisch von echt parallel.