Schneidend oder windschief
Für g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 3) + μ·(0; 1; 0): Welches Gleichungssystem ergibt sich aus g = h?
Erklärung: Jede Gerade hat ihren eigenen Parameter, h also μ: Zeile für Zeile gilt 1 + λ = 3 + 0·μ, 0 + 2λ = 0 + μ, 1 + λ = 3 + 0·μ. Die zweite Antwort verwendet in h dasselbe λ, die dritte setzt nur die Stützvektoren gleich.
Für g: X = (0; 0; 0) + λ·(1; 2; 0) und h: X = (2; 0; 0) + μ·(0; 1; 0) erhält man λ = 2 und μ = 4. Daraus folgt: g und h schneiden sich nicht, weil λ ≠ μ ist.
Erklärung: λ und μ sind Parameter zweier verschiedener Geraden und dürfen verschieden sein. Entscheidend ist, dass alle drei Zeilen erfüllt sind: 2 = 2, 2 · 2 = 4, 0 = 0. Die Geraden schneiden sich in (2 | 4 | 0).
Die Geraden g: X = (1; 2; 0) + λ·(1; 1; 1) und h: X = (3; 0; 2) + μ·(0; 1; 0) schneiden sich. Bestimme μ.
Erklärung: Erste Zeile: 1 + λ = 3, also λ = 2. Zweite Zeile: 2 + λ = μ, also μ = 4. Dritte Zeile zur Probe: λ = 2.
Die Flugbahnen g: X = (1; 0; 2) + λ·(2; 1; 0) und h: X = (0; 3; a) + μ·(1; 0; 1) sollen sich schneiden. Bestimme a.
Erklärung: Zweite Zeile: λ = 3. Erste Zeile: 1 + 6 = μ, also μ = 7. Dritte Zeile: 2 = a + 7, also a = −5.
Die Geraden g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 3) + μ·(0; 1; 0) schneiden sich für λ = 2 und μ = 4. Welcher Punkt ist der Schnittpunkt?
Erklärung: λ = 2 in g: (1 + 2; 0 + 4; 1 + 2) = (3; 4; 3), und μ = 4 in h ergibt denselben Punkt. S(5 | 8 | 5) setzt μ = 4 in g ein, S(3 | 2 | 3) setzt λ = 2 in h ein: Jeder Parameter gehört nur zu seiner Geraden.
Die Geraden g: X = (2; 1; 0) + λ·(1; 3; 2) und h: X = (0; 7; 0) + μ·(1; 0; 1) schneiden sich im Punkt S(4 | 7 | 4).
Erklärung: Zweite Zeile: 1 + 3λ = 7 gibt λ = 2, erste Zeile: 2 + λ = μ gibt μ = 4, dritte Zeile: 2λ = μ stimmt (4 = 4). S = g(2) = (4 | 7 | 4), zur Probe h(4) = (0 + 4 | 7 | 0 + 4).
Das Gleichsetzen von g: X = (3; 1; −1) + λ·(2; 0; 1) mit einer Geraden h ergibt λ = 2. Welche x₁-Koordinate hat der Schnittpunkt?
Erklärung: λ = 2 wird in g eingesetzt: x₁ = 3 + 2 · 2 = 7. Der Schnittpunkt ist S(7 | 1 | 1).
Die Bahnen zweier Drohnen sind g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (2; 0; 4) + μ·(0; 1; −1). Sie schneiden sich. Berechne die Summe x₁ + x₂ + x₃ der Koordinaten des Schnittpunkts.
Erklärung: Erste Zeile: 1 + λ = 2, also λ = 1. Zweite Zeile: 2λ = μ, also μ = 2. Dritte Zeile zur Probe: 1 + λ = 4 − μ, also 2 = 2. S = g(1) = (2 | 2 | 2), die Summe ist 6.
Wie liegen g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 2) + μ·(0; 1; 0) zueinander? Im Bild kreuzen sie sich.
Erklärung: Die Richtungen sind keine Vielfachen, also nicht parallel. Gleichsetzen: 1 + λ = 3 gibt λ = 2, aber 1 + λ = 2 verlangt λ = 1: Widerspruch, kein Schnittpunkt, also windschief. Das Schrägbild lässt beide Fälle gleich aussehen.
Die Geraden g: X = (0; 0; 0) + λ·(1; 0; 0) und h: X = (0; 1; 1) + μ·(0; 1; 0) haben keinen gemeinsamen Punkt. Also sind sie parallel.
Erklärung: Die Richtungen (1; 0; 0) und (0; 1; 0) sind keine Vielfachen: nicht parallel. Gleichsetzen: λ = 0, 0 = 1 + μ gibt μ = −1, aber 0 = 1 ist falsch. Kein Schnittpunkt und nicht parallel heißt windschief.
Beim Gleichsetzen von g: X = (2; 1; 0) + λ·(1; 0; 1) und h: X = (0; 5; 5) + μ·(1; −1; 0) liefern die ersten beiden Zeilen λ = 2 und μ = 4. Was gilt für g und h?
Erklärung: Die dritte Zeile 0 + λ = 5 + 0·μ gibt mit λ = 2 die falsche Aussage 2 = 5: Widerspruch. Ohne die dritte Zeile würde man g(2) = (4 | 1 | 2) als Schnittpunkt melden. Die Richtungen (1; 0; 1) und (1; −1; 0) sind keine Vielfachen, also nicht parallel.
Wie viele gemeinsame Punkte haben zwei windschiefe Geraden?
Erklärung: Windschief heißt: nicht parallel und ohne Schnittpunkt, also 0 gemeinsame Punkte.
Für welchen Wert von c schneiden sich g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; c) + μ·(0; 1; 0)?
Erklärung: Erste Zeile: 1 + λ = 3, also λ = 2. Dritte Zeile: 1 + λ = c, also c = 3. Für jedes andere c ist die dritte Zeile ein Widerspruch: windschief.
Gegeben ist g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1). Untersuche die Lage von g zu h₁: X = (5; 0; 4) + μ·(2; −4; 1) und zu h₂: X = (5; 0; 5) + μ·(2; −4; 1). Berechne, falls vorhanden, den Schnittpunkt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst die Richtungen, dann Gleichsetzen mit zwei Parametern; die dritte Zeile entscheidet zwischen schneidend und windschief.