Schneidend oder windschief

Intersecting or skew

Mathematik Klasse 13 14 Aufgaben
GeometrieGeradenAnalytische GeometrieWindschiefe Geraden

Sind zwei Geraden nicht parallel, klärt das Gleichsetzen g = h, ob sie einen Schnittpunkt haben: drei Gleichungen für die zwei Parameter λ und μ, die dritte dient der Probe. Der Abschnitt zeigt, wie man den Schnittpunkt aus λ in g (oder μ in h) erhält, und dass ein Widerspruch windschiefe Geraden anzeigt, die es nur im Raum gibt. Räumt aus, λ = μ zu verlangen, nur zwei Zeilen zu prüfen, „kein Schnittpunkt“ mit „parallel“ gleichzusetzen und sich Schnitt oder Windschiefe im Schrägbild ansehen zu wollen. Bereitet Schnittpunkte von Geraden mit Ebenen und Abstände windschiefer Geraden vor.

Gleichsetzen

Sind g und h nicht parallel, bleibt eine Frage: Haben sie einen gemeinsamen Punkt? Für g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 3) + μ·(0; 1; 0) setzt man gleich. Jede Gerade bekommt ihren eigenen Parameter: 1 + λ = 3, 2λ = μ, 1 + λ = 3. Das sind drei Gleichungen für zwei Unbekannte. Die erste liefert λ = 2, die zweite μ = 4, die dritte bestätigt λ = 2. Setzt man λ = 2 in g ein, erhält man den Schnittpunkt S(3 | 4 | 3); zur Probe gibt μ = 4 in h denselben Punkt. λ und μ dürfen verschieden sein.

h hat den Stützvektor (3; 0; c). Verändere c: Im Bild kreuzen sich g und h immer. Für welches c gibt es wirklich einen Schnittpunkt?

Windschief

Ändert man den Stützvektor von h zu (3; 0; 2), lautet die dritte Zeile 1 + λ = 2, also λ = 1, während die erste λ = 2 verlangt. Der Widerspruch zeigt: kein Schnittpunkt. Sind die Richtungsvektoren dazu keine Vielfachen, heißen g und h windschief. Windschiefe Geraden liegen in keiner gemeinsamen Ebene, das gibt es nur im Raum. Das Standardbeispiel sind zwei Kanten eines Quaders, die sich nicht treffen und nicht parallel sind.

So klärt man die Lage: Richtungsvektoren vergleichen. Vielfache: Punktprobe, dann identisch oder echt parallel. Keine Vielfachen: Gleichsetzen, dann schneidend oder windschief.

Dreidimensionales Koordinatensystem (x₁ zum Betrachter, x₂ nach rechts, x₃ nach oben): Strecke (3|0|0)–(3|4|0), Strecke (0|4|2)–(3|4|2), Quader (0|0|0)–(3|4|2) x₁ 1 2 x₂ 1 2 3 4 x₃ 1 2 g h
Die Kanten g und h des Quaders haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel: windschief.

Voraussetzungen (1)

Parallele Geraden
Klasse 13
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 3) + μ·(0; 1; 0): Welches Gleichungssystem ergibt sich aus g = h?

  • ● 1 + λ = 3; 2λ = μ; 1 + λ = 3
  • ○ 1 + λ = 3; 2λ = λ; 1 + λ = 3
  • ○ 1 = 3; 0 = 0; 1 = 3
Jede Gerade hat ihren eigenen Parameter, h also μ: Zeile für Zeile gilt 1 + λ = 3 + 0·μ, 0 + 2λ = 0 + μ, 1 + λ = 3 + 0·μ. Die zweite Antwort verwendet in h dasselbe λ, die dritte setzt nur die Stützvektoren gleich.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für g: X = (0; 0; 0) + λ·(1; 2; 0) und h: X = (2; 0; 0) + μ·(0; 1; 0) erhält man λ = 2 und μ = 4. Daraus folgt: g und h schneiden sich nicht, weil λ ≠ μ ist.

✓ Falsch
λ und μ sind Parameter zweier verschiedener Geraden und dürfen verschieden sein. Entscheidend ist, dass alle drei Zeilen erfüllt sind: 2 = 2, 2 · 2 = 4, 0 = 0. Die Geraden schneiden sich in (2 | 4 | 0).
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Die Geraden g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 3) + μ·(0; 1; 0) schneiden sich für λ = 2 und μ = 4. Welcher Punkt ist der Schnittpunkt?

  • ● S(3 | 4 | 3)
  • ○ S(5 | 8 | 5)
  • ○ S(3 | 2 | 3)
λ = 2 in g: (1 + 2; 0 + 4; 1 + 2) = (3; 4; 3), und μ = 4 in h ergibt denselben Punkt. S(5 | 8 | 5) setzt μ = 4 in g ein, S(3 | 2 | 3) setzt λ = 2 in h ein: Jeder Parameter gehört nur zu seiner Geraden.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Geraden g: X = (2; 1; 0) + λ·(1; 3; 2) und h: X = (0; 7; 0) + μ·(1; 0; 1) schneiden sich im Punkt S(4 | 7 | 4).

✓ Wahr
Zweite Zeile: 1 + 3λ = 7 gibt λ = 2, erste Zeile: 2 + λ = μ gibt μ = 4, dritte Zeile: 2λ = μ stimmt (4 = 4). S = g(2) = (4 | 7 | 4), zur Probe h(4) = (0 + 4 | 7 | 0 + 4).
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie liegen g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 2) + μ·(0; 1; 0) zueinander? Im Bild kreuzen sie sich.

  • ● windschief
  • ○ schneidend
  • ○ parallel
Die Richtungen sind keine Vielfachen, also nicht parallel. Gleichsetzen: 1 + λ = 3 gibt λ = 2, aber 1 + λ = 2 verlangt λ = 1: Widerspruch, kein Schnittpunkt, also windschief. Das Schrägbild lässt beide Fälle gleich aussehen.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Geraden g: X = (0; 0; 0) + λ·(1; 0; 0) und h: X = (0; 1; 1) + μ·(0; 1; 0) haben keinen gemeinsamen Punkt. Also sind sie parallel.

✓ Falsch
Die Richtungen (1; 0; 0) und (0; 1; 0) sind keine Vielfachen: nicht parallel. Gleichsetzen: λ = 0, 0 = 1 + μ gibt μ = −1, aber 0 = 1 ist falsch. Kein Schnittpunkt und nicht parallel heißt windschief.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Beim Gleichsetzen von g: X = (2; 1; 0) + λ·(1; 0; 1) und h: X = (0; 5; 5) + μ·(1; −1; 0) liefern die ersten beiden Zeilen λ = 2 und μ = 4. Was gilt für g und h?

  • ● windschief
  • ○ schneidend im Punkt S(4 | 1 | 2)
  • ○ parallel
Die dritte Zeile 0 + λ = 5 + 0·μ gibt mit λ = 2 die falsche Aussage 2 = 5: Widerspruch. Ohne die dritte Zeile würde man g(2) = (4 | 1 | 2) als Schnittpunkt melden. Die Richtungen (1; 0; 1) und (1; −1; 0) sind keine Vielfachen, also nicht parallel.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Geraden g: X = (1; 2; 0) + λ·(1; 1; 1) und h: X = (3; 0; 2) + μ·(0; 1; 0) schneiden sich. Bestimme μ.

✓ Antwort: 4
Erste Zeile: 1 + λ = 3, also λ = 2. Zweite Zeile: 2 + λ = μ, also μ = 4. Dritte Zeile zur Probe: λ = 2.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Das Gleichsetzen von g: X = (3; 1; −1) + λ·(2; 0; 1) mit einer Geraden h ergibt λ = 2. Welche x₁-Koordinate hat der Schnittpunkt?

✓ Antwort: 7
λ = 2 wird in g eingesetzt: x₁ = 3 + 2 · 2 = 7. Der Schnittpunkt ist S(7 | 1 | 1).
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Wie viele gemeinsame Punkte haben zwei windschiefe Geraden?

✓ Antwort: 0
Windschief heißt: nicht parallel und ohne Schnittpunkt, also 0 gemeinsame Punkte.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Flugbahnen g: X = (1; 0; 2) + λ·(2; 1; 0) und h: X = (0; 3; a) + μ·(1; 0; 1) sollen sich schneiden. Bestimme a.

✓ Antwort: -5
Zweite Zeile: λ = 3. Erste Zeile: 1 + 6 = μ, also μ = 7. Dritte Zeile: 2 = a + 7, also a = −5.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Bahnen zweier Drohnen sind g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (2; 0; 4) + μ·(0; 1; −1). Sie schneiden sich. Berechne die Summe x₁ + x₂ + x₃ der Koordinaten des Schnittpunkts.

✓ Antwort: 6
Erste Zeile: 1 + λ = 2, also λ = 1. Zweite Zeile: 2λ = μ, also μ = 2. Dritte Zeile zur Probe: 1 + λ = 4 − μ, also 2 = 2. S = g(1) = (2 | 2 | 2), die Summe ist 6.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von c schneiden sich g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; c) + μ·(0; 1; 0)?

✓ Antwort: 3
Erste Zeile: 1 + λ = 3, also λ = 2. Dritte Zeile: 1 + λ = c, also c = 3. Für jedes andere c ist die dritte Zeile ein Widerspruch: windschief.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1). Untersuche die Lage von g zu h₁: X = (5; 0; 4) + μ·(2; −4; 1) und zu h₂: X = (5; 0; 5) + μ·(2; −4; 1). Berechne, falls vorhanden, den Schnittpunkt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die Richtungen (1; 2; 1) und (2; −4; 1) sind keine Vielfachen: g ist zu h₁ und h₂ nicht parallel. h₁: 1 + λ = 5 + 2μ, 2λ = −4μ, 1 + λ = 4 + μ. Aus der zweiten Zeile λ = −2μ; in die erste: 1 − 2μ = 5 + 2μ, also μ = −1, λ = 2; die dritte Zeile stimmt (3 = 3). Schnittpunkt S = g(2) = (3 | 4 | 3). h₂: die dritte Zeile lautet 1 + λ = 5 + μ. Erste und dritte Zeile zusammen: 5 + 2μ = 5 + μ, also μ = 0 und λ = 4; die zweite Zeile 8 = 0 ist falsch: windschief.
Erst die Richtungen, dann Gleichsetzen mit zwei Parametern; die dritte Zeile entscheidet zwischen schneidend und windschief.