Spurpunkte und besondere Lage
Welche der Ebenen ist parallel zur x₂-Achse?
Erklärung: In x₁ + 3x₃ = 6 fehlt x₂: Der Normalenvektor (1; 0; 3) steht senkrecht auf der x₂-Achse. In den anderen Gleichungen fehlt x₃ (parallel zur x₃-Achse) beziehungsweise x₁ (parallel zur x₁-Achse).
Die Ebene 2x₂ + x₃ = 4 ist parallel zur x₁-Achse.
Erklärung: Der Normalenvektor (0; 2; 1) hat die Komponente 0 in x₁-Richtung und steht damit senkrecht auf der x₁-Achse. Die Ebene verläuft in x₁-Richtung unverändert.
Welche Gleichung gehört zur gezeichneten Ebene?
Erklärung: Die Ebene schneidet die x₂-Achse bei 2 und die x₃-Achse bei 4: 2 · 2 = 4 und 1 · 4 = 4. Sie ist parallel zur x₁-Achse, also fehlt x₁. Bei x₂ + 2x₃ = 4 wären die Achsenabschnitte vertauscht.
Die Ebene 5x₁ + 2x₃ = 10 hat einen Normalenvektor (n₁; n₂; n₃). Wie groß ist n₂?
Erklärung: x₂ kommt nicht vor, also ist der Koeffizient und damit n₂ = 0. Die Ebene ist parallel zur x₂-Achse.
Die Ebene 3x₁ + b·x₂ + 2x₃ = 6 soll parallel zur x₂-Achse sein. Bestimme b.
Erklärung: Parallel zur x₂-Achse heißt: x₂ fehlt, der Normalenvektor (3; b; 2) muss auf (0; 1; 0) senkrecht stehen. 3 · 0 + b · 1 + 2 · 0 = 0 gibt b = 0.
Welche der Ebenen ist parallel zur x₁x₂-Ebene, dem Boden?
Erklärung: In x₃ = 3 kommt nur x₃ vor: waagerecht in der Höhe 3. x₁ = 3 ist parallel zur x₂x₃-Ebene, x₁ + x₂ = 3 steht senkrecht auf dem Boden (parallel zur x₃-Achse).
Welche Gleichung hat die gezeichnete Ebene?
Erklärung: Die Fläche liegt waagerecht und schneidet die x₃-Achse bei 3, also x₃ = 3. x₁ = 3 und x₂ = 3 wären senkrechte Wände in x₁- beziehungsweise x₂-Richtung.
Die Ebene 4x₂ = 12 schneidet die x₂-Achse. Welche x₂-Koordinate hat der Schnittpunkt?
Erklärung: Aus 4x₂ = 12 folgt x₂ = 3: Die Ebene ist parallel zur x₁x₃-Ebene und schneidet die x₂-Achse in (0 | 3 | 0).
Die Ebene a·x₁ = 6 schneidet die x₁-Achse im Punkt (3 | 0 | 0). Bestimme a.
Erklärung: Einsetzen von x₁ = 3: a · 3 = 6, also a = 2. Die Ebene x₁ = 3 ist parallel zur x₂x₃-Ebene.
Welcher Punkt ist der Spurpunkt von E: 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12 mit der x₂-Achse?
Erklärung: Auf der x₂-Achse ist x₁ = x₃ = 0: 3x₂ = 12, also x₂ = 4. S₂(0 | 12 | 0) übernimmt d, S₂(0 | 3 | 0) den Koeffizienten von x₂ ohne durch ihn zu teilen.
Die Ebene 4x₁ + x₂ + 2x₃ = 8 schneidet die x₃-Achse im Punkt (0 | 0 | 4).
Erklärung: Auf der x₃-Achse gilt x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 8, also x₃ = 4.
Berechne die x₁-Koordinate des Spurpunkts S₁ der Ebene 5x₁ + 2x₂ + x₃ = 20.
Erklärung: x₂ = x₃ = 0 gibt 5x₁ = 20, also x₁ = 4.
Ein Sonnensegel liegt in der Ebene 5x₁ + 4x₂ + 2x₃ = 20 (Längeneinheit 1 m). In welcher Höhe x₃ liegt sein Befestigungspunkt auf der x₃-Achse?
Erklärung: Auf der x₃-Achse ist x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 20, also x₃ = 10. Der Spurpunkt ist S₃(0 | 0 | 10).
Eine Ebene schneidet die Achsen in S₁(3 | 0 | 0), S₂(0 | 6 | 0) und S₃(0 | 0 | 2). Welche Koordinatenform hat sie?
Erklärung: x₁/3 + x₂/6 + x₃/2 = 1, mit 6 multipliziert 2x₁ + x₂ + 3x₃ = 6; jeder Spurpunkt erfüllt sie. In 3x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 6 sind die Achsenabschnitte als Koeffizienten eingesetzt (S₁ ergäbe 9 ≠ 6), bei „= 1“ wurde nicht mit dem Hauptnenner multipliziert.
Welche Gleichung gehört zur gezeichneten Ebene?
Erklärung: Die Ebene schneidet die Achsen bei 4, 2 und 6. Für 3x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 12 gilt 3 · 4 = 12, 6 · 2 = 12 und 2 · 6 = 12. Bei 4x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 12 wurden die Achsenabschnitte als Koeffizienten benutzt, bei „= 6“ passt kein Spurpunkt.
Eine Ebene 2x₁ + 4x₂ + x₃ = d hat die Spurpunkte S₁(4 | 0 | 0), S₂(0 | 2 | 0) und S₃(0 | 0 | 8). Bestimme d.
Erklärung: S₁ einsetzen: 2 · 4 = 8. Zur Probe S₂: 4 · 2 = 8 und S₃: 1 · 8 = 8.
Eine Ebene hat die Spurpunkte S₁(6 | 0 | 0), S₂(0 | 3 | 0) und S₃(0 | 0 | 2). Ihre Koordinatenform lautet x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d. Bestimme c.
Erklärung: S₁ einsetzen: d = 6. S₃: c · 2 = 6, also c = 3. (S₂: b · 3 = 6 gibt b = 2.)
Gegeben ist die Ebene E: 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 12. Berechne die Spurpunkte S₁, S₂ und S₃, zeichne das Spurdreieck in ein Schrägbild des Koordinatensystems und begründe, ob E zu einer Koordinatenachse oder Koordinatenebene parallel ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Koordinaten 0 setzen und durch den Koeffizienten teilen; fehlt keine Koordinate, gibt es keine Parallelität zu einer Achse.