Spurpunkte und besondere Lage
Trace points and special position
Aus der Koordinatenform einer Ebene lassen sich ihre Lage und ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen: Fehlt eine Koordinate, ist die Ebene zu der Achse parallel, fehlen zwei, zu einer Koordinatenebene; die Spurpunkte S₁(d/n₁ | 0 | 0), S₂(0 | d/n₂ | 0), S₃(0 | 0 | d/n₃) liefern das Spurdreieck zum Zeichnen. Umgekehrt führen drei Spurpunkte zur Koordinatenform. Räumt aus, eine fehlende Koordinate als „Achse ist Normale“ zu lesen, für einen Spurpunkt d oder n₁ statt d/n₁ zu nehmen oder Achsenabschnitte als Koeffizienten einzusetzen. Bereitet die Skizze von Ebenen, ihre Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen und die Lage zu Geraden vor.
Besondere Lage aus der Gleichung
Fehlt in der Koordinatenform eine Koordinate, ist der Normalenvektor
Spurpunkte
Die Punkte, in denen eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet, heißen Spurpunkte. Auf der x₁-Achse sind
x₂ = x₃ = 0: Aus 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4 folgt 2x₁ = 4, also
Umgekehrt findet man die Gleichung aus den Spurpunkten: Für S₁(a | 0 | 0), S₂(0 | b | 0), S₃(0 | 0 | c) gilt x₁/a + x₂/b + x₃/c = 1; mit dem Hauptnenner multipliziert entsteht die Koordinatenform. Das Dreieck der Spurpunkte gibt ein gutes Bild der Ebene. Bei einer Ebene parallel zu einer Achse fehlt der zugehörige Spurpunkt.
Voraussetzungen (1)
Welche der Ebenen ist parallel zur x₂-Achse?
Die Ebene 2x₂ + x₃ = 4 ist parallel zur x₁-Achse.
Welche Gleichung gehört zur gezeichneten Ebene?
Welche der Ebenen ist parallel zur x₁x₂-Ebene, dem Boden?
Welche Gleichung hat die gezeichnete Ebene?
Welcher Punkt ist der Spurpunkt von E: 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12 mit der x₂-Achse?
Die Ebene 4x₁ + x₂ + 2x₃ = 8 schneidet die x₃-Achse im Punkt (0 | 0 | 4).
Eine Ebene schneidet die Achsen in S₁(3 | 0 | 0), S₂(0 | 6 | 0) und S₃(0 | 0 | 2). Welche Koordinatenform hat sie?
Welche Gleichung gehört zur gezeichneten Ebene?
Die Ebene 5x₁ + 2x₃ = 10 hat einen Normalenvektor (n₁; n₂; n₃). Wie groß ist n₂?
Die Ebene 4x₂ = 12 schneidet die x₂-Achse. Welche x₂-Koordinate hat der Schnittpunkt?
Berechne die x₁-Koordinate des Spurpunkts S₁ der Ebene 5x₁ + 2x₂ + x₃ = 20.
Eine Ebene 2x₁ + 4x₂ + x₃ = d hat die Spurpunkte S₁(4 | 0 | 0), S₂(0 | 2 | 0) und S₃(0 | 0 | 8). Bestimme d.
Die Ebene 3x₁ + b·x₂ + 2x₃ = 6 soll parallel zur x₂-Achse sein. Bestimme b.
Die Ebene a·x₁ = 6 schneidet die x₁-Achse im Punkt (3 | 0 | 0). Bestimme a.
Ein Sonnensegel liegt in der Ebene 5x₁ + 4x₂ + 2x₃ = 20 (Längeneinheit 1 m). In welcher Höhe x₃ liegt sein Befestigungspunkt auf der x₃-Achse?
Eine Ebene hat die Spurpunkte S₁(6 | 0 | 0), S₂(0 | 3 | 0) und S₃(0 | 0 | 2). Ihre Koordinatenform lautet x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d. Bestimme c.
Gegeben ist die Ebene E: 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 12. Berechne die Spurpunkte S₁, S₂ und S₃, zeichne das Spurdreieck in ein Schrägbild des Koordinatensystems und begründe, ob E zu einer Koordinatenachse oder Koordinatenebene parallel ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.