Lineare Modelle
Ein Fahrradverleih verlangt 4 € Grundgebühr und 2 € je Stunde. Welche Funktion gibt den Preis y (in €) für x Stunden an?
Erklärung: Die Grundgebühr fällt einmal an (t = 4), die 2 € je Stunde wachsen mit x (m = 2): y = 2x + 4. y = 4x + 2 vertauscht m und t, y = 6x addiert beide Zahlen, statt sie zu trennen.
Ein Becken enthält 500 Liter; es laufen 20 Liter je Minute ab. Welche Funktion gibt die Wassermenge y (in Litern) nach x Minuten an?
Erklärung: Startwert t = 500, Änderung je Minute m = −20 (die Menge sinkt): y = 500 − 20x. y = 20 − 500x vertauscht m und t, y = 500 + 20x übersieht das Abnehmen.
Zum Text „3 € Pfand plus 1,50 € je Flasche“ passt die Funktion y = 3x + 1,5.
Erklärung: Das Pfand fällt einmal an (t = 3), 1,50 € kommen je Flasche dazu (m = 1,5): y = 1,5x + 3. Bei y = 3x + 1,5 wären m und t vertauscht.
Welche Funktion gehört zur abgebildeten Wertetabelle?
Erklärung: Bei x = 0 ist y = 5 (t = 5), und y wächst je Schritt um 3 (m = 3): y = 3x + 5. y = 5x + 3 vertauscht m und t, y = 3x + 8 startet beim Wert der zweiten Spalte.
Ein Tarif kostet y = 0,25x + 8 Euro (x Minuten). Wie viel Euro kostet er bei 12 Minuten?
Erklärung: y = 0,25 · 12 + 8 = 3 + 8 = 11 Euro.
Eine Pflanze ist 12 cm hoch und wächst gleichmäßig 3 cm pro Woche. Wie hoch ist sie nach 5 Wochen (in cm)?
Erklärung: y = 3x + 12 mit x = 5: y = 15 + 12 = 27 cm.
Die Preisgeraden zweier Tarife (x Minuten, y Euro) schneiden sich in S(40 | 10). Was bedeutet das?
Erklärung: Der x-Wert 40 sind Minuten, der y-Wert 10 Euro: Bei 40 Minuten kosten beide Tarife gleich viel, nämlich 10 €. Die anderen Antworten vertauschen die Achsen oder behaupten einen dauerhaften Unterschied.
Beschreibt h(x) = 20 − 4x die Kerzenhöhe in cm nach x Stunden, so bedeutet m = −4, dass die Kerze pro Stunde 4 cm abbrennt.
Erklärung: m ist die Änderung von h je Stunde: −4 cm je Stunde heißt, die Kerze wird jede Stunde um 4 cm niedriger.
Für den Akku gilt y = 80 − 5x (y in %, x in Stunden). Was bedeutet die Nullstelle x₀ = 16?
Erklärung: Bei x₀ = 16 ist y = 0: Nach 16 Stunden ist keine Ladung mehr übrig. Der Startwert ist t = 80 %, der Verlust je Stunde m = −5 %.
Der Wasserstand eines Sees ist y = 120 − 8x (in cm, x in Stunden). Um wie viel cm sinkt er pro Stunde?
Erklärung: Die Änderung je Stunde ist m = −8 cm, der Wasserstand sinkt also um 8 cm pro Stunde. Die 120 ist der Anfangswert.
Tarif A kostet y = 0,10x + 6 €, Tarif B y = 0,25x € (x Minuten). Um wie viel Euro ist A bei 60 Minuten billiger als B?
Erklärung: A: 0,10 · 60 + 6 = 12 €. B: 0,25 · 60 = 15 €. Differenz: 15 − 12 = 3 €. (Nach dem Schnittpunkt bei 40 Minuten ist A billiger.)
Studio X verlangt 30 € Anmeldegebühr und 20 € je Monat, Studio Y keine Anmeldegebühr und 35 € je Monat. Stelle für beide die Kosten y (in €) nach x Monaten auf, berechne, nach wie vielen Monaten sie gleich viel kosten, und entscheide, welches Studio bei einem Jahr günstiger ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: X: 20x + 30, Y: 35x. x = 2, y = 70. 12 Monate: X 270 €, Y 420 € – X günstiger.
Zu welchen Wertepaaren (x | y) passt ein lineares Modell?
Erklärung: Nur bei der ersten Reihe wächst y bei jedem Schritt um dasselbe (+3). Bei 1, 2, 4, 8 wächst es um 1, 2, 4; bei 2, 5, 9, 14 um 3, 4, 5: die Zuwächse sind nicht gleich.
Ein Kapital von 100 €, das jedes Jahr um 5 % wächst, wächst linear: jedes Jahr um 5 €.
Erklärung: Im ersten Jahr kommen 5 € dazu (105 €), im zweiten 5 % von 105 €, also 5,25 € (110,25 €). Die Zuwächse sind nicht gleich – kein lineares Wachstum.
Passt eine Gerade zu den abgebildeten Messpunkten?
Erklärung: Zwischen den Punkten wächst y um 2, dann 4, dann 8 – die Zuwächse sind nicht gleich. „y steigt immer“ genügt nicht für eine Gerade; m = 4 ist nur der Zuwachs eines einzigen Schritts (von x = 1 nach x = 2).
Bei x = 0, 1, 2 ist y = 5, 8, 11. Um wie viel wächst y bei jedem Schritt von x um 1?
Erklärung: 8 − 5 = 3 und 11 − 8 = 3: Der Zuwachs ist gleichbleibend 3, das ist die Steigung m.
Ein Baum ist 2 m hoch, nach 1 Jahr 2,5 m, nach 2 Jahren 3 m. Wie hoch wäre er nach 10 Jahren, wenn das lineare Wachstum so weiterginge (in m)?
Erklärung: Der Zuwachs ist 0,5 m je Jahr: y = 0,5x + 2. Bei x = 10: 5 + 2 = 7 m. (Ob ein Baum wirklich so weiterwächst, ist eine andere Frage – das Modell gilt nur in einem begrenzten Bereich.)