Lineare Modelle
Linear models
Ein lineares Modell beschreibt eine gleichmäßige Änderung: t ist der Startwert (Grundgebühr, Anfangsmenge), m die Änderung je Einheit (Preis je Minute, Verbrauch je Stunde). Die Station stellt Funktionen aus Texten und Tabellen auf, deutet m, t, Nullstelle und Schnittpunkt mit Einheit im Sachzusammenhang und prüft, wann ein lineares Modell trägt: nur bei gleichen Zuwächsen und im sinnvollen Bereich. Sie räumt vertauschte Rollen von m und t und die Linearitätsillusion aus (De Bock et al. 2002; Blum & Leiß 2007). Bereitet Wachstumsmodelle mit der Exponentialfunktion vor.
Vom Text zur Funktion
Die Tarife vom Anfang sind ein lineares Modell: eine Größe, die sich gleichmäßig ändert. Aus dem Text liest man
zwei Zahlen, den
Im Sachzusammenhang tragen m und t Einheiten, und jeder besondere Punkt hat eine Bedeutung. t ist der Wert bei
Auch die Nullstelle bekommt erst im Sachzusammenhang einen Sinn, oder keinen. Die von Tarif A liegt bei
Wo das Modell endet
Ein lineares Modell passt nur, wenn gleichen Schritten in x gleiche Zuwächse in y entsprechen. Bei 2, 4, 8, 16 wächst y jedes
Mal stärker; die Gerade durch die ersten Punkte weicht schnell ab. Und auch ein passendes Modell gilt nur für sinnvolle x:
Auch die Tarife sind ein Modell. Viele Anbieter rechnen jede angefangene Minute voll ab; dann ist der Preis eine Treppe, keine Gerade. Der Schnittpunkt bleibt trotzdem bei 40 Minuten, weil 40 eine ganze Zahl ist. Rückblickend lief jede Frage dieses Kurses auf zwei Zahlen hinaus: m sagt, um wie viel y je Schritt wächst, t, wo es beginnt. Zeichnen, Aufstellen, Nullstelle, Schnittpunkt und Ungleichung sind Rechnungen mit m und t.
Voraussetzungen (1)
Ein Fahrradverleih verlangt 4 € Grundgebühr und 2 € je Stunde. Welche Funktion gibt den Preis y (in €) für x Stunden an?
Ein Becken enthält 500 Liter; es laufen 20 Liter je Minute ab. Welche Funktion gibt die Wassermenge y (in Litern) nach x Minuten an?
Zum Text „3 € Pfand plus 1,50 € je Flasche“ passt die Funktion y = 3x + 1,5.
Welche Funktion gehört zur abgebildeten Wertetabelle?
Die Preisgeraden zweier Tarife (x Minuten, y Euro) schneiden sich in S(40 | 10). Was bedeutet das?
Beschreibt h(x) = 20 − 4x die Kerzenhöhe in cm nach x Stunden, so bedeutet m = −4, dass die Kerze pro Stunde 4 cm abbrennt.
Für den Akku gilt y = 80 − 5x (y in %, x in Stunden). Was bedeutet die Nullstelle x₀ = 16?
Zu welchen Wertepaaren (x | y) passt ein lineares Modell?
Ein Kapital von 100 €, das jedes Jahr um 5 % wächst, wächst linear: jedes Jahr um 5 €.
Passt eine Gerade zu den abgebildeten Messpunkten?
Ein Tarif kostet y = 0,25x + 8 Euro (x Minuten). Wie viel Euro kostet er bei 12 Minuten?
Der Wasserstand eines Sees ist y = 120 − 8x (in cm, x in Stunden). Um wie viel cm sinkt er pro Stunde?
Bei x = 0, 1, 2 ist y = 5, 8, 11. Um wie viel wächst y bei jedem Schritt von x um 1?
Eine Pflanze ist 12 cm hoch und wächst gleichmäßig 3 cm pro Woche. Wie hoch ist sie nach 5 Wochen (in cm)?
Tarif A kostet y = 0,10x + 6 €, Tarif B y = 0,25x € (x Minuten). Um wie viel Euro ist A bei 60 Minuten billiger als B?
Studio X verlangt 30 € Anmeldegebühr und 20 € je Monat, Studio Y keine Anmeldegebühr und 35 € je Monat. Stelle für beide die Kosten y (in €) nach x Monaten auf, berechne, nach wie vielen Monaten sie gleich viel kosten, und entscheide, welches Studio bei einem Jahr günstiger ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Ein Baum ist 2 m hoch, nach 1 Jahr 2,5 m, nach 2 Jahren 3 m. Wie hoch wäre er nach 10 Jahren, wenn das lineare Wachstum so weiterginge (in m)?