Lineare Ungleichungen
Für welche x liegt der abgebildete Graph oberhalb der x-Achse?
Erklärung: Die Gerade steigt und schneidet die x-Achse bei x = 2; rechts davon (x > 2) ist y > 0. x < 2 wäre der Bereich unterhalb, −4 ist der y-Achsenabschnitt, keine Grenze auf der x-Achse.
Für die abgebildete Gerade gilt y > 0 für alle x > 3.
Erklärung: Die Gerade fällt und schneidet die x-Achse bei x = 3. Rechts davon liegt sie unterhalb der x-Achse (y < 0); y > 0 gilt für x < 3.
Für welche x liegt die Gerade f unterhalb der Geraden g?
Erklärung: Die Geraden schneiden sich bei S(4 | 6). Links davon (x < 4) verläuft die steile Gerade f unterhalb von g, rechts davon oberhalb. Die 6 ist die y-Koordinate des Schnittpunkts, nicht eine Grenze für x.
Ab welchem x liegt die abgebildete Gerade oberhalb der x-Achse? Gib die Grenze an.
Erklärung: Die Gerade schneidet die x-Achse bei x = 3 und steigt; für x > 3 ist y > 0. Die Grenze ist die Nullstelle 3 (3x − 9 = 0).
Die Höhe einer Kerze ist h(x) = 20 − 4x (in cm, x in Stunden). Ab wie vielen Stunden ist sie niedriger als 8 cm? Gib die Grenze an.
Erklärung: h(x) = 8 bei 20 − 4x = 8, also x = 3. Da h fällt, ist die Kerze für x > 3 niedriger als 8 cm.
Welche Lösung hat die Ungleichung −2x + 6 > 0?
Erklärung: −2x > −6; durch −2 zu teilen dreht das Zeichen: x < 3. x > 3 vergisst das Umdrehen, x > −3 rechnet mit falschem Vorzeichen. Probe: x = 0 ergibt 6 > 0.
Aus 3x − 2 ≤ 7 folgt x ≤ 3.
Erklärung: 3x ≤ 9, dann durch 3 (positiv) teilen: x ≤ 3. Das Zeichen bleibt, weil durch eine positive Zahl geteilt wird.
Aus −4x < 12 folgt:
Erklärung: Teilen durch −4 dreht das Zeichen: x > −3. x < −3 vergisst das Umdrehen, x > 3 nimmt das falsche Vorzeichen.
Löse −3x ≥ 12. Die Lösung lautet x ≤ ___. Welche Zahl gehört dorthin?
Erklärung: Teilen durch −3 dreht das Zeichen: x ≤ −4. Probe: x = −5 ergibt 15 ≥ 12, das stimmt.
Eine Taxifahrt kostet 3,50 € Grundpreis plus 2 € je km. Wie viele km darf man höchstens fahren, wenn man 20 € zahlen kann (Ungleichung 3,5 + 2x ≤ 20)?
Erklärung: 2x ≤ 16,5, also x ≤ 8,25. Man darf höchstens 8,25 km fahren.
Löse −3x + 5 > 2x − 10 rechnerisch mit allen Zwischenschritten, gib die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an und überprüfe sie mit je einer Zahl innerhalb und außerhalb der Lösungsmenge.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: −5x > −15, Teilen durch −5 dreht das Zeichen: x < 3. L = ]−∞; 3[. Probe x = 0 wahr, x = 4 falsch.
Welche Schreibweise gehört zu x > 2?
Erklärung: Bei x > 2 gehört die 2 nicht dazu (offene Klammer) und die Zahlen laufen nach rechts bis ∞. [2; ∞[ würde die 2 einschließen, ]−∞; 2[ läuft nach links.
Die Lösungsmenge x ≤ 3 schreibt man L = ]−∞; 3].
Erklärung: Die 3 gehört dazu (x ≤ 3): Direkt an der 3 steht die abgeschlossene Klammer „]“. Vor −∞ steht die offene Klammer, denn ∞ ist keine Zahl.
Welche Lösungsmenge zeigt der Zahlenstrahl?
Erklärung: Bei −1 ist der Punkt gefüllt (gehört dazu: eckige Klammer nach innen: „[“), bei 4 hohl (gehört nicht dazu: „[“ nach außen). Also [−1; 4[.
Die Ungleichung 2x < 10 hat die Lösungsmenge L = ]−∞; ___[. Welche Zahl gehört dorthin?
Erklärung: 2x < 10 ergibt x < 5 (Teilen durch die positive Zahl 2 lässt das Zeichen). Die 5 gehört nicht dazu, also steht die offene Klammer: L = ]−∞; 5[.
Wie viele ganze Zahlen liegen in der Lösungsmenge L = ]−2; 3]?
Erklärung: Die −2 ist ausgeschlossen, die 3 eingeschlossen: −1, 0, 1, 2, 3. Das sind 5 Zahlen.