Lineare Ungleichungen

Am Graphen lösen

Für welche x ist $2x+1>5$? Eine solche Ungleichung ist, wie a < 3, für manche Zahlen wahr und für andere falsch; alle passenden x zusammen bilden ihre Lösungsmenge. Am Graphen lautet die Frage: Wo liegt unsere Gerade $y=2x+1$ oberhalb der waagerechten Geraden $y=5$? Die Grenze ist die Stelle, an der sich beide schneiden: $2x+1=5$ ergibt $x=2$. Weil die Gerade steigt, liegt die Lösung rechts davon: $x>2$. Probe mit einer Zahl auf jeder Seite: x = 3 ergibt 7, größer als 5; x = 1 ergibt 3, nicht größer als 5.

Umformen und das Zeichen

Rechnerisch löst man wie eine Gleichung: $2x+1>5$, auf beiden Seiten 1 abziehen, $2x>4$, durch 2 teilen, $x>2$. Mit einer Ausnahme: Multipliziert oder teilt man mit einer negativen Zahl, dreht sich das Zeichen um. Der Grund liegt am Zahlenstrahl: 2 < 3, aber $-2>-3$, denn −2 liegt rechts von −3. Mal −1 spiegelt alle Zahlen am Nullpunkt, und die Reihenfolge kehrt sich um.

Die fallende Gerade vom Schnittpunkt: $-x+7>5$ ergibt $-x>-2$, und geteilt durch −1 wird daraus $x<2$. Wer das Zeichen nicht umdreht, schreibt x > 2, aber x = 3 ergibt −3 + 7 = 4, und 4 ist nicht größer als 5. Der Graph zeigt es: Die Gerade fällt, deshalb liegt die Lösung links der Grenze.

Die Lösungsmenge als Intervall

Die Lösungsmenge schreibt man als Intervall. Gehört die Grenze dazu (≤, ≥), steht die abgeschlossene Klammer, sonst die offene: $x>2$ ist $L=]2;\infty [$, gelesen „von 2 bis unendlich, ohne 2“. Die fallende Gerade lieferte $x<2$, also $L=]-\infty ;2[$, und $x\le -1$ ist $L=]-\infty ;-1]$. Bei $\infty$ (unendlich) steht immer die offene Klammer, denn ∞ ist keine Zahl, die man erreicht. Zur Probe setzt man eine Zahl aus der Lösungsmenge und eine außerhalb ein.