Nullstelle und Schnittpunkt
Welche Nullstelle hat die Gerade y = 2x + 8?
Erklärung: 2x + 8 = 0 ergibt 2x = −8, also x = −4. Die 4 vergisst das Vorzeichen (x₀ = −t/m, nicht t/m), die 8 ist der y-Achsenabschnitt, keine Nullstelle.
Die Gerade y = 0,5x + 3 hat die Nullstelle x = 6.
Erklärung: 0,5x + 3 = 0 ergibt 0,5x = −3, also x = −6. Probe: 0,5 · 6 + 3 = 6 ≠0, aber 0,5 · (−6) + 3 = 0.
Welche Nullstelle hat die abgebildete Gerade?
Erklärung: Die Gerade trifft die x-Achse bei x = 4. Die −2 ist der y-Achsenabschnitt (die Höhe bei x = 0), die 0,5 die Steigung.
Berechne die Nullstelle von y = −4x + 10.
Erklärung: −4x + 10 = 0 ergibt −4x = −10, also x = (−10) : (−4) = 2,5. Kontrolle mit x₀ = −t/m = −10 : (−4) = 2,5.
Ein Akku hat nach x Stunden noch y = 80 − 5x Prozent Ladung. Nach wie vielen Stunden ist er leer?
Erklärung: Leer heißt y = 0: 80 − 5x = 0, also 5x = 80 und x = 16. Nach 16 Stunden ist der Akku leer.
Welchen Schnittpunkt haben y = 2x − 1 und y = −x + 5?
Erklärung: Gleichsetzen: 2x − 1 = −x + 5 → 3x = 6 → x = 2. Einsetzen: y = 2 · 2 − 1 = 3. S(3 | 2) vertauscht die Koordinaten, S(2 | 7) setzt mit falschem Vorzeichen in den zweiten Term ein (−(−2) + 5).
In welchem Punkt schneiden sich die abgebildeten Geraden f und g?
Erklärung: Der Schnittpunkt liegt bei x = 4, y = 3 (Probe: f(4) = 4 − 1 = 3, g(4) = −2 + 5 = 3). S(3 | 4) vertauscht x und y, S(4 | 5) nimmt den y-Achsenabschnitt 5 von g als y-Wert.
Der Schnittpunkt von y = x + 2 und y = 3x − 4 hat die Koordinaten S(3 | 3).
Erklärung: Gleichsetzen: x + 2 = 3x − 4 → 6 = 2x → x = 3. Einsetzen: y = 3 + 2 = 5. Der Schnittpunkt ist S(3 | 5); die 3 ist nur die x-Koordinate.
Löse durch Gleichsetzen: 2x + 1 = 4x − 5. Wie groß ist x?
Erklärung: 2x + 1 = 4x − 5 → 6 = 2x → x = 3. Probe: 2 · 3 + 1 = 7 = 4 · 3 − 5.
Tarif A kostet 6 € + 0,10 € je Minute, Tarif B 0,25 € je Minute (keine Grundgebühr). Bei wie vielen Minuten sind beide gleich teuer?
Erklärung: Gleichsetzen: 6 + 0,10x = 0,25x → 6 = 0,15x → x = 40 Minuten. Beide kosten dann 10 €. Der Schnittpunkt der Preisgeraden ist (40 | 10).
Halle A verlangt 4 € Eintritt und 3 € je Stunde, Halle B 10 € Eintritt und 1 € je Stunde. Stelle für beide den Preis y in Abhängigkeit von der Zeit x (in Stunden) auf, berechne den Schnittpunkt durch Gleichsetzen und deute ihn im Sachzusammenhang.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: A: 3x + 4, B: x + 10. 3x + 4 = x + 10 → x = 3, y = 13. Nach 3 Stunden kosten beide 13 €.
Lies die x-Koordinate des Schnittpunkts der abgebildeten Geraden ab.
Erklärung: Die Geraden y = x + 1 und y = −x + 5 kreuzen sich bei (2 | 3). Probe: 2 + 1 = 3 und −2 + 5 = 3. Gleichsetzen bestätigt es: x + 1 = −x + 5 → x = 2.
Wie viele gemeinsame Punkte haben die Geraden y = 2x + 1 und y = 2x − 3?
Erklärung: Beide haben die Steigung 2, aber verschiedene t (1 und −3): Sie sind parallel und treffen sich nie. Gleichsetzen ergibt 1 = −3, eine falsche Aussage.
Die abgebildeten Geraden haben keinen Schnittpunkt.
Erklärung: Beide Geraden fallen gleich steil (m = −1) und sind gegeneinander verschoben: parallel, also kein gemeinsamer Punkt.
Wie viele Schnittpunkte haben die abgebildeten Geraden?
Erklärung: Die Steigungen sind verschieden (0,5 und 2): Die Geraden kreuzen sich genau einmal, hier bei (2 | 2). Nur gleiche Steigung führt zu keinem oder unendlich vielen Punkten.
Wie viele Schnittpunkte haben die Geraden y = −x + 2 und y = −x − 2?
Erklärung: Gleiche Steigung −1, verschiedenes t (2 und −2): parallel, also 0 Schnittpunkte. Gleichsetzen liefert 2 = −2, eine falsche Aussage.
Die Geraden y = 2x + 1 und y = m · x + 5 haben keinen Schnittpunkt. Wie groß ist m?
Erklärung: Kein Schnittpunkt heißt parallel, also gleiche Steigung: m = 2. Das t (1 und 5) unterscheidet sich, deshalb sind die Geraden nicht identisch.