Nullstelle und Schnittpunkt

Die Nullstelle einer Geraden

Wo trifft $y=2x+1$ die x-Achse? Dort, wo $y=0$ ist: Das ist die Nullstelle, wie du sie von Funktionen kennst, die Stelle mit f(x) = 0. Man löst $2x+1=0$: auf beiden Seiten 1 abziehen, $2x=-1$, durch 2 teilen, $x=-0,5$. Der Punkt ist $N(-0,5\mid 0)$, links vom Ursprung, wie schon bei t behauptet. Zur Probe: $2\cdot (-0,5)+1=0$. In der Abbildung sitzt N genau dort.

Dieselben Schritte mit Buchstaben: $m\cdot x+t=0$ ergibt $x_0=-\frac{t}{m}$ (gesprochen „x null“, für $m\ne 0$), hier $-\frac{1}{2}=-0,5$. Wer das Minus vergisst, erhält +0,5. Das kann nicht stimmen: Die Gerade steigt und liegt bei x = 0 schon bei 1, über der Achse, also muss sie die Achse links davon treffen.

Schnittpunkt und Parallelen

Die x-Achse ist selbst eine Gerade, y = 0. Für zwei beliebige Geraden geht man genauso vor. Die fallende Gerade $y=-x+7$ kreuzt unsere; in der zweiten Abbildung ist sie orange, unsere cyan. Im Schnittpunkt haben beide dasselbe x und dasselbe y, also setzt man die Terme gleich: $2x+1=-x+7$. Wie bei jeder Gleichung mit x auf beiden Seiten: x addieren und 1 abziehen ergibt $3x=6$, also $x=2$. Dann setzt man in einen Term ein: $y=2\cdot 2+1=5$, und zur Probe in den anderen: $-2+7=5$. Der Schnittpunkt ist $S(2\mid 5)$; erst mit beiden Koordinaten ist er fertig. (S steht für Schnittpunkt, wie bei S(0 | t) auf der y-Achse.)

So beantwortet man auch die Frage vom Anfang. Tarif A kostet $0,10x+6$, Tarif B $0,25x$. Gleichsetzen: $0,10x+6=0,25x$, also $6=0,15x$ und $x=40$. Einsetzen: $0,25\cdot 40=10$. Nach 40 Minuten kosten beide Tarife 10 €.

Haben zwei Geraden dieselbe Steigung, sind sie parallel. Für unsere Gerade und ihre Parallele g führt $2x+1=2x-2$ auf $1=-2$, eine falsche Aussage: Es gibt keinen Schnittpunkt. Stimmen auch die t überein, ist die Gleichung immer wahr, und die Geraden sind identisch.