Steigung als Änderungsrate
Welche Steigung hat die abgebildete Gerade?
Erklärung: Das Steigungsdreieck geht 4 nach rechts (Δx = 4) und 2 nach oben (Δy = 2): m = Δy : Δx = 2 : 4 = 0,5. Die 2 kommt heraus, wenn man Δx : Δy rechnet, die 6, wenn man addiert.
Die Gerade durch A(1 | 2) und B(3 | 8) hat die Steigung 3.
Erklärung: Δy = 8 − 2 = 6 und Δx = 3 − 1 = 2, also m = 6 : 2 = 3.
Die Gerade durch P(0 | 1) und Q(4 | 3) hat die Steigung 2.
Erklärung: Δy = 3 − 1 = 2, Δx = 4 − 0 = 4, also m = 2 : 4 = 0,5. Die 2 ist Δy allein oder Δx : Δy – nicht die Steigung.
Berechne die Steigung der abgebildeten Geraden durch A(2 | 1) und B(6 | 9).
Erklärung: Δy = 9 − 1 = 8, Δx = 6 − 2 = 4, also m = 8 : 4 = 2.
Eine Rampe überwindet auf 8 m waagerechter Strecke 1 m Höhe. Wie groß ist ihre Steigung m als Dezimalzahl?
Erklärung: m = Δy : Δx = 1 m : 8 m = 1/8 = 0,125.
Die Punkte A(−1 | 2) und B(5 | 6) liegen auf einer Geraden. Zeichne A und B mit einem Steigungsdreieck, berechne die Steigung m und gib an, um wie viel die Gerade steigt, wenn man 3 Einheiten nach rechts geht.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Δx = 6, Δy = 4, m = 4 : 6 = 2/3. Für 3 Einheiten: 2/3 · 3 = 2.
Welche Steigung hat die abgebildete Gerade?
Erklärung: Die Gerade fällt: Bei 3 Schritten nach rechts geht sie 3 nach unten, m = −3 : 3 = −1. Die 1 übersieht das Vorzeichen, die 3 ist der Schnittpunkt mit der y-Achse – eine Höhe, keine Steigung.
Eine Gerade, die von links unten nach rechts oben verläuft, hat eine negative Steigung.
Erklärung: Verläuft die Gerade von links nach rechts nach oben, wächst y mit x: Δy > 0 und Δx > 0, also m > 0. Negativ ist die Steigung nur bei fallenden Geraden.
Welche der Geraden fällt?
Erklärung: B fällt von links oben nach rechts unten: m = −0,5. A steigt (m = 0,5), C ist waagerecht (m = 0) – sie steigt und fällt nicht.
Berechne die Steigung der Geraden durch A(1 | 7) und B(4 | 1).
Erklärung: Δy = 1 − 7 = −6, Δx = 4 − 1 = 3, also m = −6 : 3 = −2. Die Gerade fällt.
Eine Gerade hat die Steigung m = −2 und geht durch A(1 | 4). Welchen y-Wert hat sie an der Stelle x = 2?
Erklärung: Ein Schritt nach rechts (Δx = 1) ändert y um m = −2: y = 4 + (−2) = 2.
Ein Becken füllt sich so, dass die Wassermenge y (in Litern) zur Zeit x (in Minuten) die Steigung m = 3 hat. Was bedeutet das?
Erklärung: m = 3 heißt: Wächst x um 1 Minute, wächst y um 3 Liter. „3 Liter im Becken“ wäre eine Höhe (y = 3), „nach 3 Minuten voll“ eine Stelle (x = 3) – beides ist keine Steigung.
Steigt die Temperatur in 2 Stunden von 4 °C auf 10 °C gleichmäßig, so beträgt die Änderungsrate 3 °C pro Stunde.
Erklärung: Δy = 10 − 4 = 6 °C in Δx = 2 h: m = 6 : 2 = 3 °C je Stunde.
Im Weg-Zeit-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit. Welche Einheit hat m, wenn x in Stunden und y in Kilometern gemessen wird?
Erklärung: m = Δy : Δx = Kilometer : Stunden, also km je Stunde. „h/km“ dreht den Bruch um, „km“ vergisst das „pro Stunde“.
Ein Akku lädt gleichmäßig: Nach 2 h zeigt er 30 %, nach 5 h 75 %. Wie viele Prozent je Stunde lädt er (Änderungsrate)?
Erklärung: Δy = 75 − 30 = 45 Prozentpunkte in Δx = 5 − 2 = 3 Stunden: 45 : 3 = 15 % je Stunde.
Eine Kerze ist zu Beginn 20 cm hoch und nach 3 Stunden 8 cm (gleichmäßiges Abbrennen). Wie hoch ist sie nach 2 Stunden (in cm)?
Erklärung: Änderungsrate: (8 − 20) : 3 = −4 cm je Stunde. Nach 2 Stunden: 20 + (−4) · 2 = 12 cm.