Steigung als Änderungsrate

Slope as rate of change

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben

FunktionenSteigungLineare Funktionen

Die Steigung m = Δy : Δx misst, wie stark y wächst, wenn x um 1 wächst. Die Station liest sie am Steigungsdreieck ab, berechnet sie aus zwei Punkten, deutet ihr Vorzeichen (steigt, fällt, waagerecht) und gibt ihr in Sachsituationen eine Einheit (Liter je Minute, Prozent je Stunde). Sie räumt die Verwechslung von Steigung und Höhe (Clement 1989; Leinhardt et al. 1990) und das Vertauschen von Δx und Δy aus. Bereitet y = m · x + t und später die Ableitung als lokale Änderungsrate vor.

Das Steigungsdreieck

Bei Tarif A ist y : x nicht fest. Fest ist etwas anderes, das du vom Änderungsverhalten kennst: der Zuwachs. Bei einer Geraden wächst y bei jedem Schritt um dasselbe Stück. Jede weitere Minute kostet bei Tarif A 0,10 €, ob es die fünfte ist oder die fünfzigste. Diesen Zuwachs misst man an jeder Geraden auf dieselbe Weise.

Die Gerade in der Abbildung begleitet uns durch die nächsten Abschnitte. Geh vom Punkt A(1 | 3) aus 2 nach rechts und dann 4 nach oben: Du landest in B(3 | 7) wieder auf der Geraden. Auf 2 Schritte nach rechts kommen 4 nach oben, also 4 : 2 = 2 nach oben je Schritt nach rechts.

Mach das Dreieck mit dem unteren Regler breiter und schieb es mit dem oberen an der Geraden entlang. Welcher Chip bleibt immer gleich?

Das rechtwinklige Dreieck aus den beiden Wegen heißt Steigungsdreieck. Seine Breite heißt Δx (gesprochen „Delta x“), seine Höhe Δy. Δ ist das griechische D, für Differenz: Δx ist kein Produkt aus Δ und x, sondern der Unterschied zweier x-Werte, hier Δx = 3 − 1 = 2 und Δy = 7 − 3 = 4. Den Quotienten nennt man die Steigung m der Geraden:

$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$

Wie groß das Dreieck ist und wo es sitzt, spielt keine Rolle. Der Chip zeigt es: 1 nach rechts heißt 2 nach oben, und weiter oben, ab (2 | 5), heißt 2 nach rechts wieder 4 nach oben. Nicht vertauschen: Wer Δx : Δy rechnet, erhält 2 : 4 = 0,5, eine Gerade, die viermal flacher wäre als die gezeichnete.

Steigen, fallen, je Einheit

Bei $Δ x = 1$ ist $Δ y = m$ : Die Steigung ist die Änderungsrate, die Änderung von y, wenn x um 1 wächst. In einer Sachaufgabe trägt sie eine Einheit. Tarif A kostet nach 20 Minuten 8 €, nach 60 Minuten 12 €: Δx = 40 Minuten, Δy = 4 €, also m = 4 € : 40 min = 0,10 € je Minute, genau der Minutenpreis. Bei Tarif B ist m = 0,25 € je Minute, der Faktor a der Ursprungsgeraden: Bei einer Ursprungsgeraden sind Steigung und Proportionalitätsfaktor dieselbe Zahl.

Das Vorzeichen zeigt die Richtung, von links nach rechts gelesen: $m > 0$ steigt, $m < 0$ fällt, $m = 0$ ist waagerecht. Und die Steigung ist keine Höhe: Nach 20 Minuten liegt Tarif A höher als B, 8 € gegenüber 5 €, und ist trotzdem flacher, 0,10 gegenüber 0,25.

Ziehe m von 2 durch null bis −2. Ab wann fällt die Gerade, und was passiert mit Δy?

Bei jedem m geht diese Gerade durch denselben Punkt (0 | 1) auf der y-Achse. Die Steigung allein legt also keine Gerade fest: Tarif A hat dieselbe Steigung wie die Ursprungsgerade y = 0,10 · x und liegt doch überall 6 € darüber.

Ermöglicht (1)

Was m und t bedeuten

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Steigung hat die abgebildete Gerade?

● 0,5
○ 2
○ 6

Das Steigungsdreieck geht 4 nach rechts (Δx = 4) und 2 nach oben (Δy = 2): m = Δy : Δx = 2 : 4 = 0,5. Die 2 kommt heraus, wenn man Δx : Δy rechnet, die 6, wenn man addiert.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Gerade durch A(1 | 2) und B(3 | 8) hat die Steigung 3.

✓ Wahr

Δy = 8 − 2 = 6 und Δx = 3 − 1 = 2, also m = 6 : 2 = 3.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Gerade durch P(0 | 1) und Q(4 | 3) hat die Steigung 2.

✓ Falsch

Δy = 3 − 1 = 2, Δx = 4 − 0 = 4, also m = 2 : 4 = 0,5. Die 2 ist Δy allein oder Δx : Δy – nicht die Steigung.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Steigung hat die abgebildete Gerade?

● −1
○ 1
○ 3

Die Gerade fällt: Bei 3 Schritten nach rechts geht sie 3 nach unten, m = −3 : 3 = −1. Die 1 übersieht das Vorzeichen, die 3 ist der Schnittpunkt mit der y-Achse – eine Höhe, keine Steigung.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Eine Gerade, die von links unten nach rechts oben verläuft, hat eine negative Steigung.

✓ Falsch

Verläuft die Gerade von links nach rechts nach oben, wächst y mit x: Δy > 0 und Δx > 0, also m > 0. Negativ ist die Steigung nur bei fallenden Geraden.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche der Geraden fällt?

● Gerade B
○ Gerade A
○ Gerade C

B fällt von links oben nach rechts unten: m = −0,5. A steigt (m = 0,5), C ist waagerecht (m = 0) – sie steigt und fällt nicht.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Becken füllt sich so, dass die Wassermenge y (in Litern) zur Zeit x (in Minuten) die Steigung m = 3 hat. Was bedeutet das?

● Pro Minute kommen 3 Liter hinzu
○ Nach 3 Minuten ist das Becken voll
○ Im Becken sind 3 Liter

m = 3 heißt: Wächst x um 1 Minute, wächst y um 3 Liter. „3 Liter im Becken“ wäre eine Höhe (y = 3), „nach 3 Minuten voll“ eine Stelle (x = 3) – beides ist keine Steigung.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Steigt die Temperatur in 2 Stunden von 4 °C auf 10 °C gleichmäßig, so beträgt die Änderungsrate 3 °C pro Stunde.

✓ Wahr

Δy = 10 − 4 = 6 °C in Δx = 2 h: m = 6 : 2 = 3 °C je Stunde.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Im Weg-Zeit-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit. Welche Einheit hat m, wenn x in Stunden und y in Kilometern gemessen wird?

● km je Stunde (km/h)
○ Stunden je Kilometer (h/km)
○ Kilometer (km)

m = Δy : Δx = Kilometer : Stunden, also km je Stunde. „h/km“ dreht den Bruch um, „km“ vergisst das „pro Stunde“.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der abgebildeten Geraden durch A(2 | 1) und B(6 | 9).

✓ Antwort: 2

Δy = 9 − 1 = 8, Δx = 6 − 2 = 4, also m = 8 : 4 = 2.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der Geraden durch A(1 | 7) und B(4 | 1).

✓ Antwort: -2

Δy = 1 − 7 = −6, Δx = 4 − 1 = 3, also m = −6 : 3 = −2. Die Gerade fällt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Akku lädt gleichmäßig: Nach 2 h zeigt er 30 %, nach 5 h 75 %. Wie viele Prozent je Stunde lädt er (Änderungsrate)?

✓ Antwort: 15

Δy = 75 − 30 = 45 Prozentpunkte in Δx = 5 − 2 = 3 Stunden: 45 : 3 = 15 % je Stunde.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Rampe überwindet auf 8 m waagerechter Strecke 1 m Höhe. Wie groß ist ihre Steigung m als Dezimalzahl?

✓ Antwort: 0.125

m = Δy : Δx = 1 m : 8 m = 1/8 = 0,125.

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Die Punkte A(−1 | 2) und B(5 | 6) liegen auf einer Geraden. Zeichne A und B mit einem Steigungsdreieck, berechne die Steigung m und gib an, um wie viel die Gerade steigt, wenn man 3 Einheiten nach rechts geht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit A, B und dem Dreieck Δx = 5 − (−1) = 6, Δy = 6 − 2 = 4. m = 4 : 6 = 2/3. Bei 3 Einheiten nach rechts: Δy = 2/3 · 3 = 2, die Gerade steigt um 2.

Δx = 6, Δy = 4, m = 4 : 6 = 2/3. Für 3 Einheiten: 2/3 · 3 = 2.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Gerade hat die Steigung m = −2 und geht durch A(1 | 4). Welchen y-Wert hat sie an der Stelle x = 2?

✓ Antwort: 2

Ein Schritt nach rechts (Δx = 1) ändert y um m = −2: y = 4 + (−2) = 2.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Eine Kerze ist zu Beginn 20 cm hoch und nach 3 Stunden 8 cm (gleichmäßiges Abbrennen). Wie hoch ist sie nach 2 Stunden (in cm)?

✓ Antwort: 12

Änderungsrate: (8 − 20) : 3 = −4 cm je Stunde. Nach 2 Stunden: 20 + (−4) · 2 = 12 cm.