Die Ursprungsgerade
Welche Wertepaare (x | y) gehören zu einer direkten ProportionalitÀt?
ErklĂ€rung: Nur bei (1 | 3), (2 | 6), (4 | 12) ist y : x ĂŒberall 3. Bei (1 | 3), (2 | 5), (4 | 9) wĂ€chst y um 2 je Schritt (y : x = 3; 2,5; 2,25), bei (2 | 6), (4 | 10) kippt der Quotient von 3 auf 2,5.
Das Alter eines Kindes (6, 12, 18 Jahre) und seine KörpergröĂe (120, 150, 170 cm) sind direkt proportional.
ErklĂ€rung: Der Quotient Ă€ndert sich: 120 : 6 = 20, aber 150 : 12 = 12,5. âMit dem Alter wĂ€chst die GröĂeâ genĂŒgt nicht â bei direkter ProportionalitĂ€t muss y : x gleich bleiben.
Die Zuordnung in der Tabelle ist direkt proportional.
ErklĂ€rung: y : x ergibt 3 : 2 = 1,5, 4,5 : 3 = 1,5, 7,5 : 5 = 1,5 und 9 : 6 = 1,5 â ĂŒberall derselbe Quotient, obwohl die x-Werte nicht gleichmĂ€Ăig wachsen.
Bei einer direkten ProportionalitÀt gehört zu x = 4 der Wert y = 10. Welcher y-Wert gehört zu x = 6?
ErklÀrung: y : x = 10 : 4 = 2,5. Also y = 2,5 · 6 = 15.
4 Liter Diesel kosten 7,20 âŹ. Wie viel Euro kosten 10 Liter (gleicher Preis je Liter)?
ErklĂ€rung: Preis je Liter: 7,20 ⏠: 4 = 1,80 âŹ. FĂŒr 10 Liter: 10 · 1,80 ⏠= 18 âŹ.
Zu x = 3 gehört y = 12 bei einer direkten ProportionalitÀt. Welcher Term passt?
ErklÀrung: a = y : x = 12 : 3 = 4, also y = 4x. y = x + 9 trifft zwar (3 | 12), ist aber nicht proportional (bei x = 0 wÀre y = 9). y = x/4 dreht den Quotienten um.
Der Term y = 5x + 2 beschreibt eine direkte ProportionalitÀt.
ErklĂ€rung: Bei x = 0 ist y = 2, nicht 0. Zu einer direkten ProportionalitĂ€t gehört y = a · x ohne Zusatzglied; mit â+ 2â verdoppelt sich y nicht mehr, wenn x sich verdoppelt.
Der Term y = x/3 beschreibt eine direkte ProportionalitÀt.
ErklĂ€rung: y = x/3 ist y = a · x mit a = 1/3: Der Quotient y : x ist ĂŒberall 1/3. Auch ein Faktor kleiner als 1 oder ein Bruch gehört zur direkten ProportionalitĂ€t.
Ein Liter Milch kostet 1,20 âŹ. Welcher Term gibt den Preis y (in âŹ) fĂŒr x Liter an?
ErklĂ€rung: Der Preis je Liter ist der Faktor a = 1,2, also y = 1,2 · x. âx + 1,2â addiert, âx : 1,2â teilt statt zu multiplizieren.
Die Ursprungsgerade y = a · x geht durch den Punkt (3 | 21). ErgÀnze: y = ___ · x
ErklÀrung: a = y : x = 21 : 3 = 7.
Eine Feder wird pro 100 g angehÀngtem Gewicht um 2,5 cm lÀnger (direkte ProportionalitÀt). Um wie viele cm dehnt sie sich bei 350 g?
ErklĂ€rung: a = 2,5 cm : 100 g. FĂŒr 350 g: 2,5 · 3,5 = 8,75 cm (350 g sind 3,5 · 100 g).
Eine Wanderin legt in 2 h 7 km zurĂŒck, in 4 h 14 km und in 5 h 17,5 km. PrĂŒfe rechnerisch, ob die Strecke direkt proportional zur Zeit ist, gib den Term y = a · x an und berechne die Strecke fĂŒr 3,5 h.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: PrĂŒfen: y : x in jeder Spalte 3,5, also proportional. Term y = 3,5x, fĂŒr 3,5 h: 3,5 · 3,5 = 12,25 km.
Welche der drei Geraden gehört zu einer direkten ProportionalitÀt?
ErklĂ€rung: Nur die Ursprungsgerade B (y = 2x) lĂ€uft durch (0 | 0). A trifft die y-Achse bei 1, C bei â2 â beide sind nicht proportional, denn bei x = 0 ist y â 0.
Der abgebildete Graph gehört zu einer direkten ProportionalitÀt.
ErklĂ€rung: Die Gerade schneidet die y-Achse bei (0 | 1), nicht im Ursprung. Bei x = 0 wĂ€re y = 1 â das ist bei y = a · x unmöglich.
Welcher Punkt liegt auf der abgebildeten Ursprungsgeraden?
ErklÀrung: Die Gerade geht durch (1 | 2) und (2 | 4): y = 2x. Bei x = 6 ist y = 12. Q(6 | 8) addiert statt zu vervielfachen, Q(12 | 6) vertauscht x und y.
Die abgebildete Ursprungsgerade geht durch P(4 | 6). Wie groà ist der ProportionalitÀtsfaktor a?
ErklÀrung: a = y : x = 6 : 4 = 1,5. Die Gerade steigt also um 1,5 je Schritt nach rechts.
Die abgebildete Ursprungsgerade geht durch P(5 | 3). FĂŒr welches x ist y = 12?
ErklÀrung: a = 3 : 5 = 0,6. Aus 12 = 0,6 · x folgt x = 12 : 0,6 = 20.