Äquivalenzumformungen und Probe
Von beiden Waagschalen werden 8 g weggenommen. Welche Gleichung beschreibt die Waage danach?
Erklärung: Auf beiden Seiten fällt 8 weg: links bleibt 2x, rechts 20 − 8 = 12. 2x = 20 nimmt nur links weg, 2x + 8 = 12 nur rechts.
5x + 8 = 33 | − 8. Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: Auf beiden Seiten wird 8 subtrahiert: links bleibt 5x, rechts 33 − 8 = 25. 5x = 41 addiert 8, 5x + 8 = 25 ändert nur die rechte Seite.
6x = 30 | − 6 ergibt x = 24.
Erklärung: Falsch. Links steht dann 6x − 6, und das ist nicht x. Die Umformung | − 6 macht aus 6x = 30 die Gleichung 6x − 6 = 24. Um x allein zu bekommen, teilst du durch 6.
Beide Waagschalen werden in drei gleiche Teile geteilt (| : 3). Dann gilt x = ___
Erklärung: Links bleibt ein Beutel x, rechts 21 : 3 = 7. Also x = 7.
Löse x − 7 = 12.
Erklärung: Auf beiden Seiten 7 addieren (| + 7): x = 12 + 7 = 19. Probe: 19 − 7 = 12.
Die Gleichungen 4x + 2 = 18 und 4x = 16 haben dieselbe Lösungsmenge. Erkläre mit einer Waage, warum, und gib die Lösungsmenge an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Dasselbe auf beiden Seiten wegzunehmen ändert nicht, für welche x die Waage im Gleichgewicht ist. 4x + 2 = 18 und 4x = 16 sind äquivalent, beide haben L = {4}.
Welche Zeile ist der erste sinnvolle Schritt beim Lösen von 6x − 9 = 27?
Erklärung: Zuerst wird die Zahl neben dem x weggeschafft: | + 9 gibt 6x = 27 + 9 = 36. x − 9 = 4,5 teilt nur 6x und 27 durch 6, aber nicht die 9. 6x = 18 subtrahiert 9 statt zu addieren.
In der Rechenkette fehlt eine Umformung. Welche steht hinter dem Fragezeichen?
Erklärung: Aus 5x = 25 wird x = 5, indem beide Seiten durch 5 geteilt werden (25 : 5 = 5). | − 5 würde 5x − 5 liefern, | · 5 würde 25x = 125 liefern.
Der Schritt in der Rechenkette ist richtig ausgeführt.
Erklärung: Auf beiden Seiten wird 4 addiert: −4 + 4 fällt links weg, rechts steht 20 + 4 = 24. Der Zahlenterm neben dem x wird immer zuerst durch die Gegenoperation weggeschafft.
3x + 5 = 20 | − 5 ergibt 3x = ___
Erklärung: 20 − 5 = 15. Danach folgt | : 3 mit x = 5.
Löse 7x − 5 = 30.
Erklärung: Erst | + 5: 7x = 35. Dann | : 7: x = 5. Probe: 7 · 5 − 5 = 30.
Lena hat x = 7 erhalten. Welche Rechnung ist ihre Probe?
Erklärung: Bei der Probe setzt du die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein: 3 · 7 − 5 = 16. 3 · 16 − 5 setzt die falsche Zahl ein, und 3x = 21 ist eine umgeformte Zeile, nicht die ursprüngliche Gleichung.
Die Lösung x = 6 der Rechenkette ist richtig.
Erklärung: Falsch. Probe: 4 · 6 + 6 = 30, aber rechts steht 34. In der letzten Zeile ist 28 : 4 = 7 zu rechnen, nicht 6. Richtig ist x = 7 mit 4 · 7 + 6 = 34.
x = −2 ist eine Lösung von 5x + 4 = −6.
Erklärung: Einsetzen: 5 · (−2) + 4 = −10 + 4 = −6. Beide Seiten sind gleich, also ist −2 eine Lösung.
Probe für x = 4 in 6x − 3 = 21: Wie groß ist die linke Seite?
Erklärung: Einsetzen: 6 · 4 − 3 = 24 − 3 = 21. Die linke Seite gleicht der rechten Seite 21, x = 4 ist also eine Lösung.
Tom meint, x = 9 löse 2x − 3 = 13. Wie groß ist die linke Seite, wenn du 9 einsetzt?
Erklärung: Einsetzen: 2 · 9 − 3 = 18 − 3 = 15. Die rechte Seite ist 13, also ist 9 keine Lösung. Richtig ist x = 8.
Löse 6x + 4 = 52. Schreibe jeden Schritt mit Umformungsstrich (| …) untereinander, gib die Lösungsmenge an und mache die Probe in der ursprünglichen Gleichung.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst | − 4, dann | : 6. Die Probe gehört in die Ausgangsgleichung: 6 · 8 + 4 = 52 stimmt.
Löse die Gleichung. Trag x ein.
3x + 4 = 19
Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl auf beiden Seiten ein.
| − 4: 3x = 15. | : 3: x = 5. Probe: 19 = 19.
Löse die Gleichung. Trag x ein.
5x − 2 = 18
Schau auf das Vorzeichen. Mach die Probe: Setz deine Zahl auf beiden Seiten ein.
| + 2: 5x = 20. | : 5: x = 4. Probe: 18 = 18.