Äquivalenzumformungen und Probe

Equivalence steps and the check

Mathematik Klasse 7 19 Aufgaben
AlgebraGleichungen

Nimmt man von beiden Waagschalen dasselbe weg, bleibt das Gleichgewicht: Das ist die Äquivalenzumformung, die die Lösungsmenge erhält. Die Umformung steht hinter einem senkrechten Strich, die Zahl neben dem x wird zuerst mit der Gegenoperation beseitigt, dann der Faktor, und die Probe gehört in die Ausgangsgleichung. Der Abschnitt räumt aus, nur eine Seite umzuformen (2x + 3 = 17 mit −3 nur links) und die Probe in einer umgeformten Zeile zu machen. Er bereitet Gleichungen mit x auf beiden Seiten, das Aufstellen aus Texten und die Prozentgleichungen vor.

Dasselbe auf beiden Seiten

Die Waage steht im Gleichgewicht. Was darfst du tun, ohne dass sie kippt? Geh Schritt für Schritt weiter und beobachte, was auf beiden Schalen passiert.

Ziehe den Schieber Schritt für Schritt. Was geschieht jedes Mal mit beiden Schalen, und was bleibt am Ende auf der linken Schale übrig?

Was du gesehen hast, ist eine Regel, und sie hat einen Namen.

Nimmst du von beiden Waagschalen gleich viel weg, bleibt das Gleichgewicht, und die Lösung ändert sich nicht. Das nennt man Äquivalenzumformung. Die Umformung schreibst du hinter einen senkrechten Strich: heißt „auf beiden Seiten 4 abziehen“. Dann steht da 3x = 15. Im Bild ist das Schritt 1: Beide Schalen verlieren 4 g, und der Balken bleibt waagerecht. Änderst du nur eine Seite, kippt die Waage: Nimmst du die 4 nur links weg, steht 3x = 19 da, und x = 5 passt nicht mehr, denn 3 · 5 = 15, nicht 19.

Rückwärts durch die Rechenschritte

In 3x + 4 wird x erst mit 3 multipliziert, dann kommt 4 dazu. Zum Auflösen machst du diese Schritte in umgekehrter Reihenfolge mit der Gegenoperation rückgängig: zuerst die Zahl neben dem x (), dann den Faktor (). Aus 3x = 15 folgt x = 5. Würdest du zuerst durch 3 teilen, müsstest du auch die 4 durch 3 teilen, das wird unnötig schwer.

Steht ein Minus da wie in 6x − 9 = 27, gibt es auf der Waage kein Gewicht von −9 g. Hier endet das Bild, die Regel gilt weiter: Du rechnest auf beiden Seiten , denn −9 + 9 = 0. So wird daraus 6x = 36 und x = 6.

Aufschreiben und Probe

Schreibe jeden Schritt in eine eigene Zeile, den Umformungsstrich rechts daneben, und gib am Ende die Lösungsmenge an. Die Probe machst du in der ursprünglichen Gleichung: 3 · 5 + 4 = 19 stimmt. Prüfst du nur in einer umgeformten Zeile wie 3x = 15, findest du einen Rechenfehler auf dem Weg nicht.

Rechenweg: 3x + 4 = 19, Strich minus 4, 3x = 15, Strich geteilt durch 3, x = 5, Lösungsmenge L = {5}3x + 4 = 19| − 4⇔3x = 15| : 3⇔x = 5⇔L = {5}
Jede Zeile ist gleichwertig zur vorigen; die Umformung steht rechts hinter dem Strich.

Bisher lagen Beutel nur auf einer Schale. In 5x + 2 = 3x + 10 liegen auf beiden welche, und Zahlen abziehen reicht nicht: Mit wird daraus 5x = 3x + 8, x steht immer noch links und rechts.

Voraussetzungen (1)

Gleichungen im Gleichgewicht
Klasse 7
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Ermöglicht (3)

Gleichungen aus Texten aufstellen
Klasse 7
›
Prozentaufgaben als Gleichung
Klasse 7
›
Variable auf beiden Seiten
Klasse 7
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Von beiden Waagschalen werden 8 g weggenommen. Welche Gleichung beschreibt die Waage danach?

  • ● 2x = 12
  • ○ 2x = 20
  • ○ 2x + 8 = 12
Auf beiden Seiten fällt 8 weg: links bleibt 2x, rechts 20 − 8 = 12. 2x = 20 nimmt nur links weg, 2x + 8 = 12 nur rechts.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

5x + 8 = 33 | − 8. Welche Gleichung entsteht?

  • ● 5x = 25
  • ○ 5x = 41
  • ○ 5x + 8 = 25
Auf beiden Seiten wird 8 subtrahiert: links bleibt 5x, rechts 33 − 8 = 25. 5x = 41 addiert 8, 5x + 8 = 25 ändert nur die rechte Seite.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

6x = 30 | − 6 ergibt x = 24.

✓ Falsch
Falsch. Links steht dann 6x − 6, und das ist nicht x. Die Umformung | − 6 macht aus 6x = 30 die Gleichung 6x − 6 = 24. Um x allein zu bekommen, teilst du durch 6.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Zeile ist der erste sinnvolle Schritt beim Lösen von 6x − 9 = 27?

  • ● 6x = 36
  • ○ x − 9 = 4,5
  • ○ 6x = 18
Zuerst wird die Zahl neben dem x weggeschafft: | + 9 gibt 6x = 27 + 9 = 36. x − 9 = 4,5 teilt nur 6x und 27 durch 6, aber nicht die 9. 6x = 18 subtrahiert 9 statt zu addieren.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

In der Rechenkette fehlt eine Umformung. Welche steht hinter dem Fragezeichen?

  • ● | : 5
  • ○ | − 5
  • ○ | · 5
Aus 5x = 25 wird x = 5, indem beide Seiten durch 5 geteilt werden (25 : 5 = 5). | − 5 würde 5x − 5 liefern, | · 5 würde 25x = 125 liefern.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Schritt in der Rechenkette ist richtig ausgeführt.

✓ Wahr
Auf beiden Seiten wird 4 addiert: −4 + 4 fällt links weg, rechts steht 20 + 4 = 24. Der Zahlenterm neben dem x wird immer zuerst durch die Gegenoperation weggeschafft.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Lena hat x = 7 erhalten. Welche Rechnung ist ihre Probe?

  • ● 3 · 7 − 5 = 16
  • ○ 3 · 16 − 5 = 7
  • ○ 3x = 21
Bei der Probe setzt du die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein: 3 · 7 − 5 = 16. 3 · 16 − 5 setzt die falsche Zahl ein, und 3x = 21 ist eine umgeformte Zeile, nicht die ursprüngliche Gleichung.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Lösung x = 6 der Rechenkette ist richtig.

✓ Falsch
Falsch. Probe: 4 · 6 + 6 = 30, aber rechts steht 34. In der letzten Zeile ist 28 : 4 = 7 zu rechnen, nicht 6. Richtig ist x = 7 mit 4 · 7 + 6 = 34.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

x = −2 ist eine Lösung von 5x + 4 = −6.

✓ Wahr
Einsetzen: 5 · (−2) + 4 = −10 + 4 = −6. Beide Seiten sind gleich, also ist −2 eine Lösung.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Beide Waagschalen werden in drei gleiche Teile geteilt (| : 3). Dann gilt x = ___

✓ Antwort: 7
Links bleibt ein Beutel x, rechts 21 : 3 = 7. Also x = 7.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

3x + 5 = 20 | − 5 ergibt 3x = ___

✓ Antwort: 15
20 − 5 = 15. Danach folgt | : 3 mit x = 5.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Probe für x = 4 in 6x − 3 = 21: Wie groß ist die linke Seite?

✓ Antwort: 21
Einsetzen: 6 · 4 − 3 = 24 − 3 = 21. Die linke Seite gleicht der rechten Seite 21, x = 4 ist also eine Lösung.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3x + 4 = 19

✓ Antwort: 5
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 5x − 2 = 18

✓ Antwort: 4
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse x − 7 = 12.

✓ Antwort: 19
Auf beiden Seiten 7 addieren (| + 7): x = 12 + 7 = 19. Probe: 19 − 7 = 12.
KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Die Gleichungen 4x + 2 = 18 und 4x = 16 haben dieselbe Lösungsmenge. Erkläre mit einer Waage, warum, und gib die Lösungsmenge an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Waage: links 4 Beutel x und 2 g, rechts 18 g. Nimmt man von beiden Schalen 2 g weg, bleibt das Gleichgewicht: 4x = 16. Die Waage steht bei denselben x im Gleichgewicht wie vorher, also ist die Lösungsmenge gleich. x = 16 : 4 = 4, L = {4}. Probe: 4 · 4 + 2 = 18.
Dasselbe auf beiden Seiten wegzunehmen ändert nicht, für welche x die Waage im Gleichgewicht ist. 4x + 2 = 18 und 4x = 16 sind äquivalent, beide haben L = {4}.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse 7x − 5 = 30.

✓ Antwort: 5
Erst | + 5: 7x = 35. Dann | : 7: x = 5. Probe: 7 · 5 − 5 = 30.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Tom meint, x = 9 löse 2x − 3 = 13. Wie groß ist die linke Seite, wenn du 9 einsetzt?

✓ Antwort: 15
Einsetzen: 2 · 9 − 3 = 18 − 3 = 15. Die rechte Seite ist 13, also ist 9 keine Lösung. Richtig ist x = 8.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Löse 6x + 4 = 52. Schreibe jeden Schritt mit Umformungsstrich (| …) untereinander, gib die Lösungsmenge an und mache die Probe in der ursprünglichen Gleichung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 6x + 4 = 52 | − 4; 6x = 48 | : 6; x = 8; L = {8}. Probe: 6 · 8 + 4 = 48 + 4 = 52.
Erst | − 4, dann | : 6. Die Probe gehört in die Ausgangsgleichung: 6 · 8 + 4 = 52 stimmt.