Das Additionsverfahren
Welche Unbekannte fällt beim Addieren der abgebildeten Gleichungen weg?
Erklärung: Bei y stehen +2y und −2y: 2y + (−2y) = 0. Bei x steht 3x + 5x = 8x, das bleibt. Ein Term fällt nur weg, wenn die Koeffizienten gegengleich sind.
Die abgebildeten Gleichungen werden addiert (I + II). Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: Links 3x + 5x = 8x und 2y + (−2y) = 0, rechts 12 + 4 = 16: 8x = 16. 8x + 4y = 16 rechnet mit 2y + 2y, das Vorzeichen von −2y geht verloren. −2x + 4y = 8 wäre I − II.
Beim Addieren von I: x + 3y = 10 und II: 2x + 3y = 11 fällt y weg.
Erklärung: Die Koeffizienten von y sind gleich (+3y und +3y), nicht gegengleich: 3y + 3y = 6y. Hier würde man abziehen: II − I gibt x = 1.
I: 3x + 2y = 12 und II: 5x − 2y = 4 werden addiert. Es entsteht 8x = c. Wie groß ist c?
Erklärung: Rechts werden die Zahlen ebenfalls addiert: 12 + 4 = 16, also 8x = 16.
Berechne x mit dem Additionsverfahren: I: 4x + 3y = 18; II: 5x − 3y = 9.
Erklärung: I + II: 9x = 27, also x = 3. (Danach 4 · 3 + 3y = 18 gibt y = 2.)
Welche Rechnung lässt bei den abgebildeten Gleichungen x wegfallen?
Erklärung: Beide Gleichungen haben +2x, also zieht man ab: (2x − 2x) + (3y − y) = 19 − 13, das gibt 2y = 6. Addieren gibt 4x + 4y = 32, und 4x + 2y = 6 entsteht, wenn beim Abziehen das Vorzeichen von 2x nicht mitwechselt.
Die abgebildeten Gleichungen werden abgezogen (I − II). Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: Links 5x − 3x = 2x und 2y − 2y = 0, rechts 17 − 11 = 6: 2x = 6. 8x + 4y = 28 wäre I + II. 2x + 4y = 6 entsteht, wenn nur beim ersten Term der zweiten Gleichung das Vorzeichen wechselt.
Zieht man II: 4x + y = 12 von I: 4x + 3y = 20 ab, entsteht 2y = 32.
Erklärung: Auch die rechte Seite wird abgezogen: 20 − 12 = 8, also 2y = 8. Die 32 entsteht, wenn man 20 + 12 rechnet.
Ziehe II von I ab und berechne x: I: 7x + 4y = 36; II: 3x + 4y = 20.
Erklärung: I − II: 4x = 16, also x = 4. (Danach 3 · 4 + 4y = 20 gibt y = 2.)
Im Kino zahlen 2 Erwachsene und 3 Kinder zusammen 19 €, 2 Erwachsene und 1 Kind zusammen 13 €. Was kostet eine Kinderkarte (in €)?
Erklärung: Der Unterschied ist genau 2 Kinderkarten: 19 € − 13 € = 6 €, also kostet eine 3 €. Als Rechnung: I − II gibt 2y = 6, also y = 3.
Womit multiplizierst du Gleichung I der abgebildeten Gleichungen, damit beim Addieren y wegfällt?
Erklärung: Mit 2 wird aus +2y in I der Term +4y, und in II steht −4y: Die Summe ist 0. Mit 4 entsteht +8y, das −4y nicht aufhebt, und mit −2 entsteht −4y, das mit −4y zusammen −8y ergibt.
Gleichung I: 3x + 2y = 21 wird ganz mit 2 multipliziert. Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: Jeder Term wird mit 2 multipliziert, auch die Zahl rechts: 6x + 4y = 42. In 6x + 4y = 21 fehlt die rechte Seite, in 6x + 2y = 42 der Faktor bei y – beide Gleichungen hätten andere Lösungen.
Multipliziert man I: x + 3y = 5 ganz mit 2, erhält man 2x + 6y = 10.
Erklärung: Alle drei Terme werden verdoppelt: 2x + 6y = 10. Die neue Gleichung hat dieselben Lösungen wie I, etwa (2 | 1): 4 + 6 = 10.
Multipliziere I: 3x + 2y = 21 ganz mit 2. Welche Zahl steht dann rechts vom Gleichheitszeichen?
Erklärung: 6x + 4y = 42: Die rechte Seite wird ebenfalls verdoppelt, 2 · 21 = 42.
Berechne x mit dem Additionsverfahren: I: 3x + 2y = 21; II: 5x − 4y = 13.
Erklärung: 2 · I: 6x + 4y = 42. Addiert mit II: 11x = 55, also x = 5. (Dann y = 3.)
Löse das System I: 3x + 2y = 16; II: 5x − 4y = 12 mit dem Additionsverfahren. Schreibe jeden Schritt auf: Wie machst du die Koeffizienten passend, was entsteht beim Addieren, wie berechnest du x und y? Prüfe die Lösung in beiden Gleichungen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: 2 · I: 6x + 4y = 32; + II: 11x = 44, x = 4; y = 2. Lösung (4 | 2). Probe: 12 + 4 = 16 und 20 − 8 = 12.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein.
I: x + y = 10
II: x − y = 4
Das ist y. Gefragt ist x.
I + II: 2x = 14, also x = 7. Zurück einsetzen: y = 3.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein.
I: x + y = 12
II: x − y = 2
Das ist y. Gefragt ist x.
I + II: 2x = 14, also x = 7. Zurück einsetzen: y = 5.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein.
I: 2x + y = 11
II: 3x − y = 9
Das ist x. Gefragt ist y.
I + II: 5x = 20, also x = 4. Zurück einsetzen: y = 3.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein.
I: 3x + y = 17
II: 2x − y = 8
Das ist x. Gefragt ist y.
I + II: 5x = 25, also x = 5. Zurück einsetzen: y = 2.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein.
I: 2x + 3y = 13
II: 2x + y = 7
Das ist x. Gefragt ist y.
I − II: 2y = 6, also y = 3. Zurück einsetzen: x = 2.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein.
I: 3x + 4y = 18
II: 3x + y = 9
Das ist x. Gefragt ist y.
I − II: 3y = 9, also y = 3. Zurück einsetzen: x = 2.
Ist das richtig addiert?
I: x + y = 9
II: x − y = 1
I + II: 2x = 8
Nein: Rechts wird auch addiert: 9 + 1 = 10. Also 2x = 10 und x = 5.
Ist das richtig addiert?
I: 2x + y = 7
II: x − y = 2
I + II: 3x = 5
Nein: Rechts wird auch addiert: 7 + 2 = 9. Also 3x = 9 und x = 3.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein.
I: x + 2y = 8
II: 3x − y = 3
Das ist y. Gefragt ist x.
II · 2: 6x − 2y = 6. I + II: 7x = 14, also x = 2. Zurück einsetzen: y = 3.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein.
I: x + 3y = 13
II: 2x − y = 5
Das ist y. Gefragt ist x.
II · 3: 6x − 3y = 15. I + II: 7x = 28, also x = 4. Zurück einsetzen: y = 3.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein.
I: 2x + 3y = 12
II: 3x − y = 7
Das ist x. Gefragt ist y.
II · 3: 9x − 3y = 21. I + II: 11x = 33, also x = 3. Zurück einsetzen: y = 2.
Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein.
I: 3x + 2y = 19
II: 2x − y = 1
Das ist x. Gefragt ist y.
II · 2: 4x − 2y = 2. I + II: 7x = 21, also x = 3. Zurück einsetzen: y = 5.
Im Kino zahlen 2 Erwachsene und 3 Kinder 36 €. 1 Erwachsener und 3 Kinder zahlen 27 €. Was kostet eine Karte für Erwachsene (in €)?
Das ist der Preis einer Kinderkarte.
I: 2E + 3K = 36, II: E + 3K = 27. I − II: E = 9 €. Eine Kinderkarte kostet dann 6 €.
Im Kino zahlen 3 Erwachsene und 2 Kinder 34 €. 1 Erwachsener und 2 Kinder zahlen 18 €. Was kostet eine Karte für Erwachsene (in €)?
Das ist der Preis einer Kinderkarte.
I: 3E + 2K = 34, II: E + 2K = 18. I − II: 2E = 16, also E = 8 €. Eine Kinderkarte kostet dann 5 €.