Das Additionsverfahren

The addition method

Mathematik Klasse 8 30 Aufgaben
Lineare GleichungssystemeGleichungenAdditionsverfahren

Das Additionsverfahren lässt eine Unbekannte verschwinden: Gegengleiche Koeffizienten (+2y und −2y) addiert man, gleiche zieht man ab, und passt nichts, multipliziert man eine Gleichung ganz mit einer Zahl. Danach löst man nach der verbleibenden Unbekannten und rechnet die zweite zurück. Die Station räumt das Addieren bei gleichem Vorzeichen (4y statt 0), Vorzeichenfehler beim Abziehen und das Multiplizieren nur eines Terms oder nur einer Seite aus (Kirshner & Awtry 2004; Vlassis 2002). Bereitet den Vergleich der Verfahren und später Systeme mit drei Unbekannten vor.

Addieren und Subtrahieren

Das Additionsverfahren lässt eine Unbekannte verschwinden, indem man die Gleichungen zusammenzählt. Bei und stehen +2y und −2y da: Sie heben sich auf, es bleibt , also . Dann rechnet man y durch Einsetzen zurück: y = 3. Das Zusammenzählen ist erlaubt, weil aus zwei wahren Gleichungen auch ihre Summe eine wahre Gleichung ist.

Rechenschema: I: 3x + 2y = 21 und II: 5x − 2y = 19 stehen untereinander; die y-Terme +2y und −2y sind markiert. I + II ergibt 8x = 40.I3x+ 2y=21II5x− 2y=19I + II8x=40
Die markierten y-Terme ergeben zusammen 0 – übrig bleibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Stehen in beiden Gleichungen gleiche Terme, zieht man ab. Bei und fällt x weg: , also y = 3. Beim Abziehen wechselt jeder Term der zweiten Gleichung das Vorzeichen, auch die Zahl rechts. Ein Vorzeichenfehler steckt meist im Abziehen, darum lohnt am Ende die Probe in beiden Gleichungen.

Erst passend machen

Fällt beim Addieren nichts weg, macht man die Koeffizienten passend. Ein Blick auf die Zahlen vor y (oder vor x) zeigt, was zu tun ist. Bei und multipliziert man Gleichung I ganz mit 2: . Jetzt stehen +4y und −4y da; Addieren gibt , also x = 5, und I liefert y = 3.

Multipliziert wird jeder Term, auch die Zahl rechts; 6x + 4y = 21 wäre eine andere Gleichung. Im Bild multipliziert der Regler k die Gleichung I. Die Gerade I bleibt, nur die Koeffizienten ändern sich. Oft genügt es, eine Gleichung anzupassen; manchmal braucht man beide.

Ändere k. Bei welchem k ist die Summe der y-Koeffizienten null, und was passiert mit der Geraden I?

Voraussetzungen (1)

Das Einsetzungsverfahren
Klasse 8
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Ermöglicht (2)

Keine, eine, unendlich viele Lösungen
Klasse 8
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Umformungen und Verfahrenswahl
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Unbekannte fällt beim Addieren der abgebildeten Gleichungen weg?

  • ● y
  • ○ x
  • ○ keine von beiden
Bei y stehen +2y und −2y: 2y + (−2y) = 0. Bei x steht 3x + 5x = 8x, das bleibt. Ein Term fällt nur weg, wenn die Koeffizienten gegengleich sind.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die abgebildeten Gleichungen werden addiert (I + II). Welche Gleichung entsteht?

  • ● 8x = 16
  • ○ 8x + 4y = 16
  • ○ −2x + 4y = 8
Links 3x + 5x = 8x und 2y + (−2y) = 0, rechts 12 + 4 = 16: 8x = 16. 8x + 4y = 16 rechnet mit 2y + 2y, das Vorzeichen von −2y geht verloren. −2x + 4y = 8 wäre I − II.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Beim Addieren von I: x + 3y = 10 und II: 2x + 3y = 11 fällt y weg.

✓ Falsch
Die Koeffizienten von y sind gleich (+3y und +3y), nicht gegengleich: 3y + 3y = 6y. Hier würde man abziehen: II − I gibt x = 1.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Rechnung lässt bei den abgebildeten Gleichungen x wegfallen?

  • ● I − II: 2y = 6
  • ○ I + II: 4x + 4y = 32
  • ○ I − II: 4x + 2y = 6
Beide Gleichungen haben +2x, also zieht man ab: (2x − 2x) + (3y − y) = 19 − 13, das gibt 2y = 6. Addieren gibt 4x + 4y = 32, und 4x + 2y = 6 entsteht, wenn beim Abziehen das Vorzeichen von 2x nicht mitwechselt.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die abgebildeten Gleichungen werden abgezogen (I − II). Welche Gleichung entsteht?

  • ● 2x = 6
  • ○ 8x + 4y = 28
  • ○ 2x + 4y = 6
Links 5x − 3x = 2x und 2y − 2y = 0, rechts 17 − 11 = 6: 2x = 6. 8x + 4y = 28 wäre I + II. 2x + 4y = 6 entsteht, wenn nur beim ersten Term der zweiten Gleichung das Vorzeichen wechselt.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Zieht man II: 4x + y = 12 von I: 4x + 3y = 20 ab, entsteht 2y = 32.

✓ Falsch
Auch die rechte Seite wird abgezogen: 20 − 12 = 8, also 2y = 8. Die 32 entsteht, wenn man 20 + 12 rechnet.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Womit multiplizierst du Gleichung I der abgebildeten Gleichungen, damit beim Addieren y wegfällt?

  • ● mit 2
  • ○ mit 4
  • ○ mit −2
Mit 2 wird aus +2y in I der Term +4y, und in II steht −4y: Die Summe ist 0. Mit 4 entsteht +8y, das −4y nicht aufhebt, und mit −2 entsteht −4y, das mit −4y zusammen −8y ergibt.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Gleichung I: 3x + 2y = 21 wird ganz mit 2 multipliziert. Welche Gleichung entsteht?

  • ● 6x + 4y = 42
  • ○ 6x + 4y = 21
  • ○ 6x + 2y = 42
Jeder Term wird mit 2 multipliziert, auch die Zahl rechts: 6x + 4y = 42. In 6x + 4y = 21 fehlt die rechte Seite, in 6x + 2y = 42 der Faktor bei y – beide Gleichungen hätten andere Lösungen.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Multipliziert man I: x + 3y = 5 ganz mit 2, erhält man 2x + 6y = 10.

✓ Wahr
Alle drei Terme werden verdoppelt: 2x + 6y = 10. Die neue Gleichung hat dieselben Lösungen wie I, etwa (2 | 1): 4 + 6 = 10.
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Ist das richtig addiert? I: x + y = 9 II: x − y = 1 I + II: 2x = 8

✓ Nein
Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Ist das richtig addiert? I: 2x + y = 7 II: x − y = 2 I + II: 3x = 5

✓ Nein
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

I: 3x + 2y = 12 und II: 5x − 2y = 4 werden addiert. Es entsteht 8x = c. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 16
Rechts werden die Zahlen ebenfalls addiert: 12 + 4 = 16, also 8x = 16.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ziehe II von I ab und berechne x: I: 7x + 4y = 36; II: 3x + 4y = 20.

✓ Antwort: 4
I − II: 4x = 16, also x = 4. (Danach 3 · 4 + 4y = 20 gibt y = 2.)
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Multipliziere I: 3x + 2y = 21 ganz mit 2. Welche Zahl steht dann rechts vom Gleichheitszeichen?

✓ Antwort: 42
6x + 4y = 42: Die rechte Seite wird ebenfalls verdoppelt, 2 · 21 = 42.
Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein. I: x + y = 10 II: x − y = 4

✓ Antwort: 7
Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein. I: x + y = 12 II: x − y = 2

✓ Antwort: 7
Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein. I: 2x + y = 11 II: 3x − y = 9

✓ Antwort: 3
Zahleneingabe #7 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein. I: 3x + y = 17 II: 2x − y = 8

✓ Antwort: 2
Zahleneingabe #8 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein. I: 2x + 3y = 13 II: 2x + y = 7

✓ Antwort: 3
Zahleneingabe #9 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein. I: 3x + 4y = 18 II: 3x + y = 9

✓ Antwort: 3
Zahleneingabe #10 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein. I: x + 2y = 8 II: 3x − y = 3

✓ Antwort: 2
Zahleneingabe #11 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag x ein. I: x + 3y = 13 II: 2x − y = 5

✓ Antwort: 4
Zahleneingabe #12 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein. I: 2x + 3y = 12 II: 3x − y = 7

✓ Antwort: 2
Zahleneingabe #13 60s ▶ Testen

Löse mit dem Additionsverfahren. Trag y ein. I: 3x + 2y = 19 II: 2x − y = 1

✓ Antwort: 5
Zahleneingabe #14 75s ▶ Testen

Im Kino zahlen 2 Erwachsene und 3 Kinder 36 €. 1 Erwachsener und 3 Kinder zahlen 27 €. Was kostet eine Karte für Erwachsene (in €)?

✓ Antwort: 9
Zahleneingabe #15 75s ▶ Testen

Im Kino zahlen 3 Erwachsene und 2 Kinder 34 €. 1 Erwachsener und 2 Kinder zahlen 18 €. Was kostet eine Karte für Erwachsene (in €)?

✓ Antwort: 8
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne x mit dem Additionsverfahren: I: 4x + 3y = 18; II: 5x − 3y = 9.

✓ Antwort: 3
I + II: 9x = 27, also x = 3. (Danach 4 · 3 + 3y = 18 gibt y = 2.)
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im Kino zahlen 2 Erwachsene und 3 Kinder zusammen 19 €, 2 Erwachsene und 1 Kind zusammen 13 €. Was kostet eine Kinderkarte (in €)?

✓ Antwort: 3
Der Unterschied ist genau 2 Kinderkarten: 19 € − 13 € = 6 €, also kostet eine 3 €. Als Rechnung: I − II gibt 2y = 6, also y = 3.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne x mit dem Additionsverfahren: I: 3x + 2y = 21; II: 5x − 4y = 13.

✓ Antwort: 5
2 · I: 6x + 4y = 42. Addiert mit II: 11x = 55, also x = 5. (Dann y = 3.)
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse das System I: 3x + 2y = 16; II: 5x − 4y = 12 mit dem Additionsverfahren. Schreibe jeden Schritt auf: Wie machst du die Koeffizienten passend, was entsteht beim Addieren, wie berechnest du x und y? Prüfe die Lösung in beiden Gleichungen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: I ganz mit 2 multiplizieren: 6x + 4y = 32. Zu II addieren: 11x = 44, also x = 4. In I einsetzen: 12 + 2y = 16, also y = 2. Lösung (4 | 2). Probe: I: 3 · 4 + 2 · 2 = 16 ✓; II: 5 · 4 − 4 · 2 = 12 ✓.
2 · I: 6x + 4y = 32; + II: 11x = 44, x = 4; y = 2. Lösung (4 | 2). Probe: 12 + 4 = 16 und 20 − 8 = 12.