Das Einsetzungsverfahren
Löse 2x + y = 13 nach y auf. Welches Ergebnis stimmt?
Erklärung: Man zieht 2x auf beiden Seiten ab: y = 13 − 2x. y = 13 + 2x behält das Vorzeichen von 2x, und y = 6,5 − x teilt durch 2, obwohl vor y keine 2 steht.
Welche Umformung des abgebildeten Systems ergibt keinen Bruch?
Erklärung: In II steht vor x eine 1: x − 2y = −4 ergibt x = 2y − 4, ohne Bruch. In I muss durch 3 oder durch 4 geteilt werden. Mit dem Buchstaben ohne Vorfaktor bleibt die Rechnung einfach.
Aus 3x − y = 7 folgt y = 3x + 7.
Erklärung: 3x − y = 7 ergibt −y = 7 − 3x und damit y = 3x − 7. Probe mit x = 2: 3 · 2 − y = 7 gibt y = −1, und 3 · 2 − 7 = −1, aber 3 · 2 + 7 = 13.
Löse x − 2y = 6 nach x auf: x = 6 + k · y. Wie groß ist k?
Erklärung: Man addiert 2y auf beiden Seiten: x = 6 + 2y, also k = 2.
Aus 2x + y = 11 folgt y = 11 − 2x. Welcher y-Wert gehört zu x = 4?
Erklärung: y = 11 − 2 · 4 = 11 − 8 = 3. Probe: 2 · 4 + 3 = 11.
Setze I in II ein. Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: In II wird y durch den Term 2x − 1 ersetzt, und zwar in Klammern: 3x + 2(2x − 1) = 12. Ohne Klammer wird nur 2x mit 2 multipliziert, und wer x ersetzt, tauscht den falschen Buchstaben aus.
Setze I in II ein. Welche Gleichung mit nur einer Unbekannten entsteht?
Erklärung: y wird durch 3x ersetzt: 2x + 3x = 15. Wer nur die 3 einsetzt, verliert das x; wer 3x in I zurücksetzt, erhält die wahre, aber nutzlose Aussage 3x = 3x.
Aus I: y = 2x − 1 und II: 3x + 2y = 12: Wer y = 2x − 1 in I selbst einsetzt, erhält 2x − 1 = 2x − 1 und kann daraus x berechnen.
Erklärung: Der Term stammt aus I. In I zurückgesetzt entsteht 2x − 1 = 2x − 1, eine immer wahre Aussage ohne Information über x. Eingesetzt wird in die andere Gleichung, II.
Setze y = 2x − 1 in 3x + 2y = 12 ein und löse die entstehende Gleichung. Wie groß ist x?
Erklärung: 3x + 2(2x − 1) = 12 → 3x + 4x − 2 = 12 → 7x = 14 → x = 2.
Löse das System I: y = x + 2; II: 2x + y = 11 mit dem Einsetzungsverfahren. Wie groß ist x?
Erklärung: 2x + (x + 2) = 11 → 3x + 2 = 11 → 3x = 9 → x = 3. (Dann y = 3 + 2 = 5.)
Löse das System I: x + 2y = 7; II: 3x − y = 7 mit dem Einsetzungsverfahren. Schreibe jeden Schritt auf, gib die Lösung als Paar (x | y) an und prüfe sie in beiden Gleichungen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: x = 7 − 2y; 3(7 − 2y) − y = 7 → y = 2; x = 3. Lösung (3 | 2). Probe: 3 + 4 = 7 und 9 − 2 = 7.
Beim System I: y = 2x − 1; II: 3x + 2y = 12 ergibt sich x = 2. Welche Rechnung liefert y?
Erklärung: Man setzt x = 2 in die aufgelöste Gleichung I ein: y = 2 · 2 − 1 = 3. Das Vorzeichen bleibt ein Minus, und wer II benutzt, muss 12 − 3 · 2 = 6 noch durch 2 teilen (y = 3).
Beim System I: x + y = 5; II: x − y = 1 ergibt sich x = 3 und y = 2. Wie schreibst du die Lösung auf?
Erklärung: Die Lösung ist ein Paar mit x zuerst: (3 | 2). (2 | 3) vertauscht die Koordinaten, und x = 3 gibt nur die halbe Lösung an. Probe: 3 + 2 = 5 und 3 − 2 = 1.
Beim System I: y = 8 − x; II: 2x + y = 13 ergibt sich x = 5. Damit ist das System gelöst.
Erklärung: Eine Lösung hat zwei Koordinaten. Es fehlt y = 8 − 5 = 3; erst das Paar (5 | 3) löst das System.
Aus I: y = 8 − x. Wie groß ist y für x = 5?
Erklärung: y = 8 − 5 = 3. Die Lösung des Systems ist damit das Paar (5 | 3).
Beim System I: x = 4y; II: x + y = 15 ergibt sich y = 3. Berechne x.
Erklärung: Man setzt y = 3 in I ein: x = 4 · 3 = 12. Probe in II: 12 + 3 = 15.
Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein.
I: y = 2x + 1
II: 3x + y = 11
Das ist y. Gefragt ist x.
Setz 2x + 1 für y in II ein: 3x + (2x + 1) = 11, also 5x + 1 = 11 und x = 2. Zurück in I: y = 5.
Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein.
I: y = 3x − 2
II: 2x + y = 13
Das ist y. Gefragt ist x.
Setz 3x − 2 für y in II ein: 2x + (3x − 2) = 13, also 5x − 2 = 13 und x = 3. Zurück in I: y = 7.
Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag y ein.
I: y = x + 3
II: 2x + y = 12
Das ist x. Gefragt ist y.
Setz x + 3 für y in II ein: 2x + (x + 3) = 12, also 3x + 3 = 12 und x = 3. Zurück in I: y = 6.
Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag y ein.
I: y = 2x − 1
II: 3x + y = 9
Das ist x. Gefragt ist y.
Setz 2x − 1 für y in II ein: 3x + (2x − 1) = 9, also 5x − 1 = 9 und x = 2. Zurück in I: y = 3.
Löse I nach y auf und setz in II ein. Trag x ein.
I: 3x + y = 10
II: 2x − y = 0
Minus vor der Klammer dreht beide Zeichen um: −(10 − 3x) = −10 + 3x.
I: y = 10 − 3x. In II: 2x − (10 − 3x) = 0, also 2x − 10 + 3x = 0, 5x = 10 und x = 2.
Löse I nach y auf und setz in II ein. Trag x ein.
I: 2x + y = 11
II: x − y = 4
Minus vor der Klammer dreht beide Zeichen um: −(11 − 2x) = −11 + 2x.
I: y = 11 − 2x. In II: x − (11 − 2x) = 4, also x − 11 + 2x = 4, 3x = 15 und x = 5.
Ist x = 2, y = 3 eine Lösung?
I: x + y = 5
II: 2x − y = 1
Ja: 2 + 3 = 5 und 2 · 2 − 3 = 1. Beide Gleichungen stimmen.
Ist x = 4, y = 1 eine Lösung?
I: x + y = 5
II: 3x − y = 11
Ja: 4 + 1 = 5 und 3 · 4 − 1 = 11. Beide Gleichungen stimmen.
Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein.
I: y = −x + 8
II: 2x + y = 11
Das ist y. Gefragt ist x.
Setz −x + 8 für y in II ein: 2x + (−x + 8) = 11, also x + 8 = 11 und x = 3. Zurück in I: y = 5.
Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein.
I: y = −2x + 9
II: 4x + y = 13
Das ist y. Gefragt ist x.
Setz −2x + 9 für y in II ein: 4x + (−2x + 9) = 13, also 2x + 9 = 13 und x = 2. Zurück in I: y = 5.
y = 2x − 1 und x = 4. Wie groß ist y?
Erst 2 · 4 = 8, dann − 1.
y = 2 · 4 − 1 = 7.
Löse die Gleichung. Trag x ein.
5x − 3 = 2x + 9
| − 2x: 3x − 3 = 9. | + 3: 3x = 12. | : 3: x = 4.