Das Einsetzungsverfahren

The substitution method

Mathematik Klasse 8 28 Aufgaben

Lineare GleichungssystemeGleichungenEinsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren rechnet exakt, wo das Zeichnen nur abliest: eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen (am besten dort, wo eine 1 vor dem Buchstaben steht), den Term in Klammern in die andere Gleichung einsetzen, die entstandene Gleichung mit einer Unbekannten lösen und die zweite Unbekannte zurückrechnen. Die Station räumt vergessene Klammern (Kirshner & Awtry 2004), das Zurücksetzen in die Gleichung, aus der der Term stammt (8 − x = 8 − x), und das Aufhören bei x aus. Bereitet das Additionsverfahren, den Verfahrensvergleich und später den Schnitt von Parabel und Gerade vor.

Auflösen und einsetzen

Zeichnen liefert oft nur Näherungen. Das Einsetzungsverfahren rechnet genau. Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, am besten dort, wo eine 1 vor dem Buchstaben steht: Aus $x + y = 8$ wird $y = 8 - x$ . Dann bleibt die Rechnung ohne Bruch; bei $3 x + 4 y = 18$ wäre jedes Auflösen umständlicher.

Diesen Term setzt man in Klammern für y in die andere Gleichung ein: $2 x + (8 - x) = 13$ . Jetzt steht nur noch x da: $x + 8 = 13$ , also $x = 5$ . Setzt man den Term dagegen in die Gleichung zurück, aus der er stammt, entsteht nur $8 - x = 8 - x$ – wahr, aber ohne Information. Steht vor dem ersetzten Buchstaben ein Faktor, etwa die 2 in $3 x + 2 y = 12$ , gehört die Klammer um den ganzen Term, sonst würde nur dessen erster Summand mit dem Faktor multipliziert.

Der Term für y wandert in Klammern in Gleichung II – die farbige Hervorhebung zeigt, was ersetzt wurde.

Die zweite Unbekannte

Mit x = 5 ist erst die Hälfte geschafft. Man setzt das Ergebnis in die aufgelöste Gleichung ein: $y = 8 - 5 = 3$ . Die Lösung ist das Paar (5 | 3), nicht bloß x = 5: Bei zwei Unbekannten ist die Lösung immer ein Paar. Zur Probe prüft man beide ursprünglichen Gleichungen: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13.

Das Bild zeigt, warum das klappt: Der Punkt P wandert auf Gerade I, dort gilt immer $y = 8 - x$ . Der Chip 2x + y verrät, ob P auch auf Gerade II liegt. Das trifft nur bei genau einem x zu. Die aufgelöste Gleichung ist zum Zurückrechnen meist bequemer als die andere.

Schiebe P mit dem Regler x entlang der cyanfarbenen Geraden. Bei welchem x zeigt der letzte Chip die 13?

Voraussetzungen (2)

Ein System aufstellen

Klasse 8

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Klammern und Zusammenfassen

Klasse 7

›

Ermöglicht (2)

Das Additionsverfahren

Klasse 8

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Umformungen und Verfahrenswahl

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Löse 2x + y = 13 nach y auf. Welches Ergebnis stimmt?

● y = 13 − 2x
○ y = 13 + 2x
○ y = 6,5 − x

Man zieht 2x auf beiden Seiten ab: y = 13 − 2x. y = 13 + 2x behält das Vorzeichen von 2x, und y = 6,5 − x teilt durch 2, obwohl vor y keine 2 steht.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Umformung des abgebildeten Systems ergibt keinen Bruch?

● II nach x auflösen: x = 2y − 4
○ I nach x auflösen: x = (18 − 4y) : 3
○ I nach y auflösen: y = (18 − 3x) : 4

In II steht vor x eine 1: x − 2y = −4 ergibt x = 2y − 4, ohne Bruch. In I muss durch 3 oder durch 4 geteilt werden. Mit dem Buchstaben ohne Vorfaktor bleibt die Rechnung einfach.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Aus 3x − y = 7 folgt y = 3x + 7.

✓ Falsch

3x − y = 7 ergibt −y = 7 − 3x und damit y = 3x − 7. Probe mit x = 2: 3 · 2 − y = 7 gibt y = −1, und 3 · 2 − 7 = −1, aber 3 · 2 + 7 = 13.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Setze I in II ein. Welche Gleichung entsteht?

● 3x + 2(2x − 1) = 12
○ 3x + 2 · 2x − 1 = 12
○ 3(2x − 1) + 2y = 12

In II wird y durch den Term 2x − 1 ersetzt, und zwar in Klammern: 3x + 2(2x − 1) = 12. Ohne Klammer wird nur 2x mit 2 multipliziert, und wer x ersetzt, tauscht den falschen Buchstaben aus.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Setze I in II ein. Welche Gleichung mit nur einer Unbekannten entsteht?

● 2x + 3x = 15
○ 2x + 3 = 15
○ 3x = 3x

y wird durch 3x ersetzt: 2x + 3x = 15. Wer nur die 3 einsetzt, verliert das x; wer 3x in I zurücksetzt, erhält die wahre, aber nutzlose Aussage 3x = 3x.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Aus I: y = 2x − 1 und II: 3x + 2y = 12: Wer y = 2x − 1 in I selbst einsetzt, erhält 2x − 1 = 2x − 1 und kann daraus x berechnen.

✓ Falsch

Der Term stammt aus I. In I zurückgesetzt entsteht 2x − 1 = 2x − 1, eine immer wahre Aussage ohne Information über x. Eingesetzt wird in die andere Gleichung, II.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Beim System I: y = 2x − 1; II: 3x + 2y = 12 ergibt sich x = 2. Welche Rechnung liefert y?

● y = 2 · 2 − 1 = 3
○ y = 2 · 2 + 1 = 5
○ y = 12 − 3 · 2 = 6

Man setzt x = 2 in die aufgelöste Gleichung I ein: y = 2 · 2 − 1 = 3. Das Vorzeichen bleibt ein Minus, und wer II benutzt, muss 12 − 3 · 2 = 6 noch durch 2 teilen (y = 3).

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Beim System I: x + y = 5; II: x − y = 1 ergibt sich x = 3 und y = 2. Wie schreibst du die Lösung auf?

● (3 | 2)
○ (2 | 3)
○ x = 3

Die Lösung ist ein Paar mit x zuerst: (3 | 2). (2 | 3) vertauscht die Koordinaten, und x = 3 gibt nur die halbe Lösung an. Probe: 3 + 2 = 5 und 3 − 2 = 1.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Beim System I: y = 8 − x; II: 2x + y = 13 ergibt sich x = 5. Damit ist das System gelöst.

✓ Falsch

Eine Lösung hat zwei Koordinaten. Es fehlt y = 8 − 5 = 3; erst das Paar (5 | 3) löst das System.

Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Ist x = 2, y = 3 eine Lösung? I: x + y = 5 II: 2x − y = 1

✓ Ja

Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Ist x = 4, y = 1 eine Lösung? I: x + y = 5 II: 3x − y = 11

✓ Ja

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse x − 2y = 6 nach x auf: x = 6 + k · y. Wie groß ist k?

✓ Antwort: 2

Man addiert 2y auf beiden Seiten: x = 6 + 2y, also k = 2.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Setze y = 2x − 1 in 3x + 2y = 12 ein und löse die entstehende Gleichung. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 2

3x + 2(2x − 1) = 12 → 3x + 4x − 2 = 12 → 7x = 14 → x = 2.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Aus I: y = 8 − x. Wie groß ist y für x = 5?

✓ Antwort: 3

y = 8 − 5 = 3. Die Lösung des Systems ist damit das Paar (5 | 3).

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein. I: y = 2x + 1 II: 3x + y = 11

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein. I: y = 3x − 2 II: 2x + y = 13

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag y ein. I: y = x + 3 II: 2x + y = 12

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #7 60s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag y ein. I: y = 2x − 1 II: 3x + y = 9

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #8 60s ▶ Testen

Löse I nach y auf und setz in II ein. Trag x ein. I: 3x + y = 10 II: 2x − y = 0

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #9 60s ▶ Testen

Löse I nach y auf und setz in II ein. Trag x ein. I: 2x + y = 11 II: x − y = 4

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #10 60s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein. I: y = −x + 8 II: 2x + y = 11

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #11 60s ▶ Testen

Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Trag x ein. I: y = −2x + 9 II: 4x + y = 13

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #12 20s ▶ Testen

y = 2x − 1 und x = 4. Wie groß ist y?

✓ Antwort: 7

Zahleneingabe #13 30s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 5x − 3 = 2x + 9

✓ Antwort: 4

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus 2x + y = 11 folgt y = 11 − 2x. Welcher y-Wert gehört zu x = 4?

✓ Antwort: 3

y = 11 − 2 · 4 = 11 − 8 = 3. Probe: 2 · 4 + 3 = 11.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Löse das System I: y = x + 2; II: 2x + y = 11 mit dem Einsetzungsverfahren. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 3

2x + (x + 2) = 11 → 3x + 2 = 11 → 3x = 9 → x = 3. (Dann y = 3 + 2 = 5.)

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Löse das System I: x + 2y = 7; II: 3x − y = 7 mit dem Einsetzungsverfahren. Schreibe jeden Schritt auf, gib die Lösung als Paar (x | y) an und prüfe sie in beiden Gleichungen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: I nach x auflösen: x = 7 − 2y. In II einsetzen: 3(7 − 2y) − y = 7 → 21 − 6y − y = 7 → 21 − 7y = 7 → y = 2. Zurückrechnen: x = 7 − 2 · 2 = 3. Lösung (3 | 2). Probe: I: 3 + 2 · 2 = 7 ✓; II: 3 · 3 − 2 = 7 ✓.

x = 7 − 2y; 3(7 − 2y) − y = 7 → y = 2; x = 3. Lösung (3 | 2). Probe: 3 + 4 = 7 und 9 − 2 = 7.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Beim System I: x = 4y; II: x + y = 15 ergibt sich y = 3. Berechne x.

✓ Antwort: 12

Man setzt y = 3 in I ein: x = 4 · 3 = 12. Probe in II: 12 + 3 = 15.