Grafisch lösen
Stelle die Gleichung 2x + y = 13 nach y um. Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: 2x + y = 13 → y = 13 − 2x, also y = −2x + 13. Beim Seitenwechsel ändert 2x sein Vorzeichen (nicht +2x), die 13 dagegen bleibt positiv.
Welche Gleichung gehört zur abgebildeten Geraden?
Erklärung: Die Gerade trifft die Achsen in (0 | 6) und (3 | 0). Nur 2x + y = 6 stimmt für beide: 2 · 0 + 6 = 6 und 2 · 3 + 0 = 6. x + 2y = 6 gehört zu (6 | 0) und (0 | 3), 2x − y = 6 zu (3 | 0) und (0 | −6).
Die Gleichung x − y = 4 gehört zur Geraden y = x + 4.
Erklärung: x − y = 4 ergibt −y = 4 − x, also y = x − 4. Der Punkt (0 | 4) von y = x + 4 erfüllt x − y = 4 nicht: 0 − 4 = −4.
Stelle 3x + y = 12 nach y um: y = m · x + t. Wie groß ist m?
Erklärung: 3x + y = 12 → y = −3x + 12. Die Steigung ist m = −3, der y-Achsenabschnitt t = 12.
Die Gerade zu x + 2y = 8 wird gezeichnet. Bei welchem y-Wert schneidet sie die y-Achse?
Erklärung: Auf der y-Achse ist x = 0: 2y = 8, also y = 4. Nach y umgestellt: y = −0,5x + 4, der y-Achsenabschnitt ist 4.
Welches Paar (x | y) ist die Lösung des Systems, das die abgebildeten Geraden darstellen?
Erklärung: Die Geraden kreuzen sich bei x = 2 und y = 3, also ist (2 | 3) die Lösung. (3 | 2) vertauscht die Koordinaten, (0 | 5) ist nur der y-Achsenabschnitt einer Geraden.
Welches Paar (x | y) ist die Lösung des Systems, das die abgebildeten Geraden darstellen?
Erklärung: Der Schnittpunkt liegt bei x = 4 und y = 2, die Lösung ist (4 | 2). (2 | 4) vertauscht die Koordinaten, und (6 | 0) ist die Nullstelle der fallenden Geraden, nicht der Schnittpunkt.
Die Geraden y = x + 1 und y = −x + 5 schneiden sich in (2 | 3). Dann ist x = 2, y = 3 eine Lösung des Systems y = x + 1; y = −x + 5.
Erklärung: Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Probe: 3 = 2 + 1 und 3 = −2 + 5 – beide Gleichungen stimmen.
Die abgebildeten Geraden gehören zu einem System. Lies die y-Koordinate des Schnittpunkts ab.
Erklärung: Die Geraden schneiden sich in (3 | 4); die y-Koordinate ist 4. Probe: 2 · 3 − 2 = 4 und −3 + 7 = 4.
Die Geraden I: y = 8 − x und II: y = 13 − 2x schneiden sich in S(5 | 3). x ist der Preis einer Erwachsenenkarte, y der einer Kinderkarte (in €). Was zahlt eine Familie mit 3 Erwachsenen und 1 Kind (in €)?
Erklärung: Aus S(5 | 3) folgt: Erwachsenenkarte 5 €, Kinderkarte 3 €. Also 3 · 5 € + 1 · 3 € = 18 €.
Löse das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 grafisch: Stelle beide Gleichungen nach y um, zeichne die beiden Geraden in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm), lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn in beiden Gleichungen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: I: y = −x + 8, II: y = −2x + 13. Die Geraden schneiden sich in S(5 | 3). Probe: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13.
Mia liest aus der Zeichnung für das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 den Schnittpunkt (4 | 4) ab. Was zeigt, dass sie sich verlesen hat?
Erklärung: Das Paar muss beide Gleichungen erfüllen. I stimmt zwar (4 + 4 = 8), aber in II ergibt sich 2 · 4 + 4 = 12 statt 13. Dass I stimmt, beweist nichts, und dass x = y ist, spielt keine Rolle.
Die abgebildeten Geraden gehören zu I: y = x + 1 und II: y = −x + 6. Welches Paar besteht die Probe in beiden Gleichungen?
Erklärung: Nur (2,5 | 3,5) stimmt in beiden: 2,5 + 1 = 3,5 und −2,5 + 6 = 3,5. (3,5 | 2,5) vertauscht die Koordinaten und erfüllt nur II, (3 | 4) ist auf das nächste Gitterkreuz gerundet und erfüllt nur I: Der Schnittpunkt liegt zwischen den Gitterlinien, und die Probe entscheidet.
Der Punkt P(4 | 3) liegt auf der abgebildeten Geraden I: x + y = 7. Damit ist (4 | 3) auch eine Lösung des Systems I: x + y = 7; II: 2x − y = 6.
Erklärung: Dass P auf I liegt, zeigt nur, dass I stimmt (4 + 3 = 7). In II ergibt sich 2 · 4 − 3 = 5, nicht 6: Das Paar erfüllt II nicht, also löst es das System nicht. Die Probe braucht beide Gleichungen.
Das abgelesene Paar (4 | 3) wird in II: 3x − y = 9 geprüft. Berechne 3x − y für x = 4 und y = 3.
Erklärung: 3 · 4 − 3 = 12 − 3 = 9. Das entspricht der rechten Seite von II; II ist erfüllt.
Aus einer Zeichnung wurde (3 | 4) als Lösung von I: x + y = 7 und II: 2x + y = c abgelesen. Für welchen Wert von c stimmt das?
Erklärung: I stimmt (3 + 4 = 7). In II muss 2 · 3 + 4 = 10 auf der linken Seite stehen, also ist c = 10.