Grafisch lösen

Solving graphically

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben

Lineare GleichungssystemeGeradenGraphisch darstellen

Jede Gleichung mit x und y hat unendlich viele Lösungspaare, und alle liegen auf einer Geraden: nach y umstellen (Vorzeichen beim Seitenwechsel!) und zeichnen. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt beider Geraden, ein Paar (x | y) mit beiden Koordinaten. Weil Ablesen nur so genau ist wie das Gitter, prüft die Probe in beiden Gleichungen jedes abgelesene Paar. Die Station räumt vergessene Vorzeichen beim Umstellen, vertauschte Koordinaten und den Schnittpunkt „zwischen den Gitterlinien“ aus (Leinhardt et al. 1990). Bereitet die exakten Rechenverfahren und später den Schnitt von Parabel und Gerade vor.

Jede Gleichung ist eine Gerade

Alle Lösungspaare einer Gleichung mit x und y liegen auf einer Geraden. Um sie zu zeichnen, stellt man nach y um. Aus $2 x + y = 13$ wird $y = - 2 x + 13$ : Steigung −2, y-Achsenabschnitt 13. Beim Seitenwechsel ändert 2x sein Vorzeichen, es wird −2x, nicht +2x. Das Ziel ist immer die Form $y = m \cdot x + t$ , aus der man Steigung und Achsenabschnitt direkt liest.

Bei $x + y = 8$ ergibt sich $y = - x + 8$ . Zum Zeichnen genügen zwei Punkte, etwa $(0 ∣ 8)$ und $(8 ∣ 0)$ , oder der y-Achsenabschnitt mit dem Steigungsdreieck. Ein dritter Punkt dient als Kontrolle: Liegt er auf der Geraden, stimmt die Zeichnung.

Ändere die rechte Seite c von 2x + y = c. Was bleibt gleich, was verschiebt sich, und wo liegen die Achsenpunkte A und B?

Der Schnittpunkt ist die Lösung

Jeder Punkt auf Gerade I erfüllt die erste Gleichung, jeder Punkt auf Gerade II die zweite. Ein Punkt auf beiden erfüllt beide: der Schnittpunkt. Bei $y = - x + 8$ und $y = - 2 x + 13$ liegt er bei $S (5 ∣ 3)$ . Die Lösung ist das Paar mit beiden Koordinaten, x zuerst: Ein Erwachsener zahlt 5 €, ein Kind 3 €. Es reicht nicht, nur x = 5 zu nennen, denn ein Punkt hat zwei Koordinaten.

Die beiden Geraden fallen verschieden steil (Steigung −1 und −2), deshalb kreuzen sie sich genau einmal. Ablesen ist nur so genau wie das Gitter. Liegt der Schnittpunkt zwischen den Gitterlinien, hilft nur die Probe in beiden Gleichungen.

Verändere die rechte Seite c von II: y = c − 2x. Wie wandert S, und lässt sich das Paar immer am Gitter ablesen?

Voraussetzungen (2)

Ein System aufstellen

Klasse 8

›

Geraden zeichnen und ablesen

Klasse 8

›

Ermöglicht (1)

Keine, eine, unendlich viele Lösungen

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Stelle die Gleichung 2x + y = 13 nach y um. Welche Gleichung entsteht?

● y = −2x + 13
○ y = 2x + 13
○ y = −2x − 13

2x + y = 13 → y = 13 − 2x, also y = −2x + 13. Beim Seitenwechsel ändert 2x sein Vorzeichen (nicht +2x), die 13 dagegen bleibt positiv.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Gleichung gehört zur abgebildeten Geraden?

● 2x + y = 6
○ x + 2y = 6
○ 2x − y = 6

Die Gerade trifft die Achsen in (0 | 6) und (3 | 0). Nur 2x + y = 6 stimmt für beide: 2 · 0 + 6 = 6 und 2 · 3 + 0 = 6. x + 2y = 6 gehört zu (6 | 0) und (0 | 3), 2x − y = 6 zu (3 | 0) und (0 | −6).

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Gleichung x − y = 4 gehört zur Geraden y = x + 4.

✓ Falsch

x − y = 4 ergibt −y = 4 − x, also y = x − 4. Der Punkt (0 | 4) von y = x + 4 erfüllt x − y = 4 nicht: 0 − 4 = −4.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welches Paar (x | y) ist die Lösung des Systems, das die abgebildeten Geraden darstellen?

● (2 | 3)
○ (3 | 2)
○ (0 | 5)

Die Geraden kreuzen sich bei x = 2 und y = 3, also ist (2 | 3) die Lösung. (3 | 2) vertauscht die Koordinaten, (0 | 5) ist nur der y-Achsenabschnitt einer Geraden.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welches Paar (x | y) ist die Lösung des Systems, das die abgebildeten Geraden darstellen?

● (4 | 2)
○ (2 | 4)
○ (6 | 0)

Der Schnittpunkt liegt bei x = 4 und y = 2, die Lösung ist (4 | 2). (2 | 4) vertauscht die Koordinaten, und (6 | 0) ist die Nullstelle der fallenden Geraden, nicht der Schnittpunkt.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Geraden y = x + 1 und y = −x + 5 schneiden sich in (2 | 3). Dann ist x = 2, y = 3 eine Lösung des Systems y = x + 1; y = −x + 5.

✓ Wahr

Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Probe: 3 = 2 + 1 und 3 = −2 + 5 – beide Gleichungen stimmen.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Mia liest aus der Zeichnung für das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 den Schnittpunkt (4 | 4) ab. Was zeigt, dass sie sich verlesen hat?

● 2 · 4 + 4 = 12, aber II verlangt 13
○ 4 + 4 = 8, und I verlangt 8
○ x und y sind beide 4, also gleich

Das Paar muss beide Gleichungen erfüllen. I stimmt zwar (4 + 4 = 8), aber in II ergibt sich 2 · 4 + 4 = 12 statt 13. Dass I stimmt, beweist nichts, und dass x = y ist, spielt keine Rolle.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die abgebildeten Geraden gehören zu I: y = x + 1 und II: y = −x + 6. Welches Paar besteht die Probe in beiden Gleichungen?

● (2,5 | 3,5)
○ (3,5 | 2,5)
○ (3 | 4)

Nur (2,5 | 3,5) stimmt in beiden: 2,5 + 1 = 3,5 und −2,5 + 6 = 3,5. (3,5 | 2,5) vertauscht die Koordinaten und erfüllt nur II, (3 | 4) ist auf das nächste Gitterkreuz gerundet und erfüllt nur I: Der Schnittpunkt liegt zwischen den Gitterlinien, und die Probe entscheidet.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Punkt P(4 | 3) liegt auf der abgebildeten Geraden I: x + y = 7. Damit ist (4 | 3) auch eine Lösung des Systems I: x + y = 7; II: 2x − y = 6.

✓ Falsch

Dass P auf I liegt, zeigt nur, dass I stimmt (4 + 3 = 7). In II ergibt sich 2 · 4 − 3 = 5, nicht 6: Das Paar erfüllt II nicht, also löst es das System nicht. Die Probe braucht beide Gleichungen.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Stelle 3x + y = 12 nach y um: y = m · x + t. Wie groß ist m?

✓ Antwort: -3

3x + y = 12 → y = −3x + 12. Die Steigung ist m = −3, der y-Achsenabschnitt t = 12.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die abgebildeten Geraden gehören zu einem System. Lies die y-Koordinate des Schnittpunkts ab.

✓ Antwort: 4

Die Geraden schneiden sich in (3 | 4); die y-Koordinate ist 4. Probe: 2 · 3 − 2 = 4 und −3 + 7 = 4.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Das abgelesene Paar (4 | 3) wird in II: 3x − y = 9 geprüft. Berechne 3x − y für x = 4 und y = 3.

✓ Antwort: 9

3 · 4 − 3 = 12 − 3 = 9. Das entspricht der rechten Seite von II; II ist erfüllt.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Gerade zu x + 2y = 8 wird gezeichnet. Bei welchem y-Wert schneidet sie die y-Achse?

✓ Antwort: 4

Auf der y-Achse ist x = 0: 2y = 8, also y = 4. Nach y umgestellt: y = −0,5x + 4, der y-Achsenabschnitt ist 4.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Geraden I: y = 8 − x und II: y = 13 − 2x schneiden sich in S(5 | 3). x ist der Preis einer Erwachsenenkarte, y der einer Kinderkarte (in €). Was zahlt eine Familie mit 3 Erwachsenen und 1 Kind (in €)?

✓ Antwort: 18

Aus S(5 | 3) folgt: Erwachsenenkarte 5 €, Kinderkarte 3 €. Also 3 · 5 € + 1 · 3 € = 18 €.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Löse das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 grafisch: Stelle beide Gleichungen nach y um, zeichne die beiden Geraden in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm), lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn in beiden Gleichungen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

I: y = −x + 8, II: y = −2x + 13. Die Geraden schneiden sich in S(5 | 3). Probe: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Aus einer Zeichnung wurde (3 | 4) als Lösung von I: x + y = 7 und II: 2x + y = c abgelesen. Für welchen Wert von c stimmt das?

✓ Antwort: 10

I stimmt (3 + 4 = 7). In II muss 2 · 3 + 4 = 10 auf der linken Seite stehen, also ist c = 10.