Wie viele Lösungen hat das System der abgebildeten Geraden?

Erklärung: Die Geraden steigen verschieden steil (Steigung 2 und −1) und kreuzen sich einmal, bei (2 | 5). Verschiedene Steigungen ergeben genau einen Schnittpunkt, also genau eine Lösung.

Welches System hat genau eine Lösung?

Erklärung: Nur in I: y = 2x + 1 und II: y = −x + 7 sind die Steigungen verschieden (2 und −1). Bei y = 2x − 3 sind sie gleich, aber t verschieden (parallel, keine Lösung), und 2y = 4x + 2 ist dieselbe Gerade wie I (unendlich viele Lösungen).

Löse durch Gleichsetzen: I: y = 3x − 2; II: y = −2x + 8. Wie groß ist x?

Erklärung: 3x − 2 = −2x + 8 → 5x = 10 → x = 2. (Dann y = 3 · 2 − 2 = 4, die eine Lösung ist (2 | 4).)

Wie viele Lösungen hat das System I: x + y = 6; II: x − y = 2?

Erklärung: Die Steigungen −1 und 1 sind verschieden, die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, (4 | 2). Also genau eine Lösung.

Wie viele Lösungen hat das System der abgebildeten Geraden?

Erklärung: Beide Geraden steigen gleich steil (Steigung 2) und sind gegeneinander verschoben: Sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt, also keine Lösung.

Das System I: x + y = 4; II: x + y = 6 hat keine Lösung.

Erklärung: Dieselbe Summe x + y kann nicht zugleich 4 und 6 sein. Die Geraden y = −x + 4 und y = −x + 6 sind parallel.

Beim System I: x + y = 4; II: x + y = 6 ergibt II − I die Aussage 0 = c. Wie groß ist c?

Erklärung: II − I: (x − x) + (y − y) = 6 − 4, also 0 = 2. Diese Aussage ist falsch – das System hat keine Lösung.

Wie viele Lösungen hat das System I: 2x + 2y = 8; II: x + y = 6?

Erklärung: 2x + 2y = 8 heißt x + y = 4, und x + y = 6 widerspricht dem: Die Geraden sind parallel, es gibt keine Lösung.

Untersuche das System I: 2x + 3y = 12; II: 4x + 6y = 20. Rechne aus, was beim Eliminieren entsteht, erkläre damit und mit den Geraden, wie viele Lösungen es gibt, und schreibe die Lösungsmenge auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: II − 2 · I: 0 = −4 (falsch) → keine Lösung, L = { }. Die Geraden haben dieselbe Steigung −2/3 und verschiedene y-Achsenabschnitte (4 und 10/3): parallel.

Die abgebildeten Geraden gehören zu I: x + y = 8 und II: 2x + 2y = 16. Wie viele Lösungen hat das System?

Erklärung: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade (II ist I mal 2): Die Geraden liegen aufeinander, jeder Punkt der Geraden ist eine Lösung, also unendlich viele.

Welches System hat unendlich viele Lösungen?

Erklärung: Nur in I: x + y = 8 und II: 2x + 2y = 16 ist II ganz mit 2 multipliziert: dieselbe Gerade. In 2x + 2y = 8 wurde nur die linke Seite verdoppelt (parallel, keine Lösung), und x − y = 8 hat eine andere Steigung (genau eine Lösung).

I: x + y = 8 und II: 2x + 2y = 16 haben unendlich viele Lösungen. Ergänze (3 | y) zu einer Lösung: y = ?

Erklärung: Auf der Geraden y = −x + 8 gehört zu x = 3 der Wert y = 5. Probe in beiden: 3 + 5 = 8 und 6 + 10 = 16.

Für welchen Wert von c hat das System I: x + y = 8; II: 2x + 2y = c unendlich viele Lösungen?

Erklärung: II muss I ganz mit 2 multipliziert sein: 2x + 2y = 2 · 8 = 16. Bei jedem anderen c wären die Geraden parallel.

Das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 hat genau die Lösung x = 5, y = 3. Wie schreibt man die Lösungsmenge?

Erklärung: Eine Lösung ist ein Paar, also L = {(5 | 3)}. L = {5; 3} enthielte zwei einzelne Zahlen, und L = { } wäre die leere Menge, also keine Lösung.

Ein System hat keine Lösung. Wie schreibt man die Lösungsmenge?

Erklärung: Keine Lösung heißt: Die Lösungsmenge ist leer, L = { }. L = {0} und L = {(0 | 0)} würden behaupten, dass 0 bzw. (0 | 0) eine Lösung ist – das ist ein anderes Ergebnis.

L = {(x | y) | y = −x + 8} ist die Lösungsmenge von I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 16.

Erklärung: Beide Gleichungen beschreiben die Gerade y = −x + 8. Jedes Paar auf ihr ist Lösung, und genau diese Paare stehen in L.

Die Lösungsmenge von I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 16 ist L = {(x | y) | y = −x + t}. Wie groß ist t?

Erklärung: x + y = 8 ergibt y = −x + 8, also t = 8. II liefert dieselbe Gerade: 2x + 2y = 16 → y = −x + 8.

Die Paare (0 | 8), (2 | 6), (5 | 3), (9 | −1) und (4 | 5) werden im System I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 16 geprüft. Wie viele davon liegen in der Lösungsmenge?

Erklärung: Die Paare mit x + y = 8 sind Lösungen: (0 | 8), (2 | 6), (5 | 3) und (9 | −1). (4 | 5) hat die Summe 9 und gehört nicht dazu.

Aufgabe 1 von 18