Keine, eine, unendlich viele Lösungen

No, one, infinitely many solutions

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben
Lineare GleichungssystemeGeradenLösbarkeit

Ein System mit zwei Unbekannten hat keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen: Verschiedene Steigungen geben einen Schnittpunkt, gleiche Steigung bei verschiedenem y-Achsenabschnitt parallele Geraden, dieselbe Gerade unendlich viele gemeinsame Punkte. Beim Rechnen zeigt sich das als eindeutiges x, als falsche Aussage (0 = 2) oder als wahre Aussage (0 = 0); die Lösungsmenge lautet L = {(5 | 3)}, L = { } oder L = {(x | y) | y = −x + 8}. Die Station rĂ€umt „zwei Gleichungen, also immer eine Lösung“, 0 = 2 als Rechenfehler und 0 = 0 als „x = 0“ aus. Bereitet die Lage von Geraden und Ebenen vor.

Genau eine Lösung

Bisher hatten alle Systeme genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Das ist der Normalfall, sobald die Steigungen verschieden sind. Bei I: y = −x + 8 und II: y = m · x + 13 gibt es fĂŒr jedes m ≠ −1 einen Schnittpunkt, und Gleichsetzen liefert eine eindeutige Zahl fĂŒr x. Die Lösungsmenge ist dann ein einzelnes Paar, etwa . Man sieht es schon vor dem Rechnen: Verschiedene Steigungen genĂŒgen.

Ändere die Steigung m von II. Der Schnittpunkt wandert, verschwindet aber nicht: Der Regler hĂ€lt vor m = −1 an.

Keine Lösung

Haben beide Geraden dieselbe Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte, sind sie parallel und haben keinen Punkt gemeinsam. Bei und kann dieselbe Summe nicht zugleich 8 und 6 sein. Rechnet man trotzdem, etwa II − I, entsteht , eine falsche Aussage. Das ist kein Rechenfehler, sondern das Ergebnis: Es gibt keine Lösung, . Bei einer falschen Aussage ist die Rechnung zu Ende: Man schreibt die leere Menge auf und antwortet, dass das System nicht lösbar ist.

Verschiebe II mit dem Regler c. Solange c ≠ 8 bleiben die Geraden parallel: Welche Zahl zeigt der letzte Chip?

Unendlich viele Lösungen

Fallen die Geraden zusammen, liegen alle Punkte auf beiden. Bei und ist II einfach I mal 2. Rechnet man II − 2 · I, erhĂ€lt man , eine wahre Aussage. Sie bedeutet nicht x = 0, sondern: Jedes Paar auf der Geraden ist eine Lösung, etwa (3 | 5) oder (8 | 0). Man schreibt .

Zusammengefasst: verschiedene Steigungen – genau eine Lösung; gleiche Steigung, verschiedenes t – keine; dieselbe Gerade – unendlich viele. Die Anzahl der Lösungen hĂ€ngt also nur von Steigung und y-Achsenabschnitt der beiden Geraden ab. Im Bild heißt II jetzt .

Ändere k. Bei welchem k fallen die beiden Geraden zusammen, und was zeigt dann der letzte Chip?

Voraussetzungen (2)

Grafisch lösen
Klasse 8
â€ș
Das Additionsverfahren
Klasse 8
â€ș
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat das System der abgebildeten Geraden?

  • ● genau eine
  • ○ keine
  • ○ unendlich viele
Die Geraden steigen verschieden steil (Steigung 2 und −1) und kreuzen sich einmal, bei (2 | 5). Verschiedene Steigungen ergeben genau einen Schnittpunkt, also genau eine Lösung.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welches System hat genau eine Lösung?

  • ● I: y = 2x + 1; II: y = −x + 7
  • ○ I: y = 2x + 1; II: y = 2x − 3
  • ○ I: y = 2x + 1; II: 2y = 4x + 2
Nur in I: y = 2x + 1 und II: y = −x + 7 sind die Steigungen verschieden (2 und −1). Bei y = 2x − 3 sind sie gleich, aber t verschieden (parallel, keine Lösung), und 2y = 4x + 2 ist dieselbe Gerade wie I (unendlich viele Lösungen).
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat das System der abgebildeten Geraden?

  • ● keine
  • ○ genau eine
  • ○ unendlich viele
Beide Geraden steigen gleich steil (Steigung 2) und sind gegeneinander verschoben: Sie sind parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt, also keine Lösung.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Das System I: x + y = 4; II: x + y = 6 hat keine Lösung.

✓ Wahr
Dieselbe Summe x + y kann nicht zugleich 4 und 6 sein. Die Geraden y = −x + 4 und y = −x + 6 sind parallel.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die abgebildeten Geraden gehören zu I: x + y = 8 und II: 2x + 2y = 16. Wie viele Lösungen hat das System?

  • ● unendlich viele
  • ○ genau eine
  • ○ keine
Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade (II ist I mal 2): Die Geraden liegen aufeinander, jeder Punkt der Geraden ist eine Lösung, also unendlich viele.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welches System hat unendlich viele Lösungen?

  • ● I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 16
  • ○ I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 8
  • ○ I: x + y = 8; II: x − y = 8
Nur in I: x + y = 8 und II: 2x + 2y = 16 ist II ganz mit 2 multipliziert: dieselbe Gerade. In 2x + 2y = 8 wurde nur die linke Seite verdoppelt (parallel, keine Lösung), und x − y = 8 hat eine andere Steigung (genau eine Lösung).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 hat genau die Lösung x = 5, y = 3. Wie schreibt man die Lösungsmenge?

  • ● L = {(5 | 3)}
  • ○ L = {5; 3}
  • ○ L = { }
Eine Lösung ist ein Paar, also L = {(5 | 3)}. L = {5; 3} enthielte zwei einzelne Zahlen, und L = { } wÀre die leere Menge, also keine Lösung.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein System hat keine Lösung. Wie schreibt man die Lösungsmenge?

  • ● L = { }
  • ○ L = {0}
  • ○ L = {(0 | 0)}
Keine Lösung heißt: Die Lösungsmenge ist leer, L = { }. L = {0} und L = {(0 | 0)} wĂŒrden behaupten, dass 0 bzw. (0 | 0) eine Lösung ist – das ist ein anderes Ergebnis.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

L = {(x | y) | y = −x + 8} ist die Lösungsmenge von I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 16.

✓ Wahr
Beide Gleichungen beschreiben die Gerade y = −x + 8. Jedes Paar auf ihr ist Lösung, und genau diese Paare stehen in L.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse durch Gleichsetzen: I: y = 3x − 2; II: y = −2x + 8. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 2
3x − 2 = −2x + 8 → 5x = 10 → x = 2. (Dann y = 3 · 2 − 2 = 4, die eine Lösung ist (2 | 4).)
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Beim System I: x + y = 4; II: x + y = 6 ergibt II − I die Aussage 0 = c. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 2
II − I: (x − x) + (y − y) = 6 − 4, also 0 = 2. Diese Aussage ist falsch – das System hat keine Lösung.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

I: x + y = 8 und II: 2x + 2y = 16 haben unendlich viele Lösungen. ErgÀnze (3 | y) zu einer Lösung: y = ?

✓ Antwort: 5
Auf der Geraden y = −x + 8 gehört zu x = 3 der Wert y = 5. Probe in beiden: 3 + 5 = 8 und 6 + 10 = 16.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Die Lösungsmenge von I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 16 ist L = {(x | y) | y = −x + t}. Wie groß ist t?

✓ Antwort: 8
x + y = 8 ergibt y = −x + 8, also t = 8. II liefert dieselbe Gerade: 2x + 2y = 16 → y = −x + 8.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat das System I: x + y = 6; II: x − y = 2?

✓ Antwort: 1
Die Steigungen −1 und 1 sind verschieden, die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, (4 | 2). Also genau eine Lösung.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat das System I: 2x + 2y = 8; II: x + y = 6?

✓ Antwort: 0
2x + 2y = 8 heißt x + y = 4, und x + y = 6 widerspricht dem: Die Geraden sind parallel, es gibt keine Lösung.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Untersuche das System I: 2x + 3y = 12; II: 4x + 6y = 20. Rechne aus, was beim Eliminieren entsteht, erklÀre damit und mit den Geraden, wie viele Lösungen es gibt, und schreibe die Lösungsmenge auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: II − 2 · I: (4x − 4x) + (6y − 6y) = 20 − 24, also 0 = −4, eine falsche Aussage. Keine Lösung, L = { }. Geraden: I: y = −(2/3)x + 4, II: y = −(2/3)x + 10/3. Gleiche Steigung, verschiedenes t: parallel, kein gemeinsamer Punkt.
II − 2 · I: 0 = −4 (falsch) → keine Lösung, L = { }. Die Geraden haben dieselbe Steigung −2/3 und verschiedene y-Achsenabschnitte (4 und 10/3): parallel.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

FĂŒr welchen Wert von c hat das System I: x + y = 8; II: 2x + 2y = c unendlich viele Lösungen?

✓ Antwort: 16
II muss I ganz mit 2 multipliziert sein: 2x + 2y = 2 · 8 = 16. Bei jedem anderen c wÀren die Geraden parallel.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Die Paare (0 | 8), (2 | 6), (5 | 3), (9 | −1) und (4 | 5) werden im System I: x + y = 8; II: 2x + 2y = 16 geprĂŒft. Wie viele davon liegen in der Lösungsmenge?

✓ Antwort: 4
Die Paare mit x + y = 8 sind Lösungen: (0 | 8), (2 | 6), (5 | 3) und (9 | −1). (4 | 5) hat die Summe 9 und gehört nicht dazu.