Ein System aufstellen
Im Kino zahlt eine Familie für 2 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten zusammen 19 €. Was legst du als x und y fest?
Erklärung: Gesucht sind die Preise, denn die Anzahlen (2 und 3) stehen schon im Text. Ein Buchstabe steht für eine gesuchte Zahl, nicht für die Sache „Karten“ und nicht für eine bekannte Anzahl.
Zwei Zahlen haben die Summe 20, und die eine ist um 4 größer als die andere. Was legst du als x und y fest?
Erklärung: Gesucht sind die beiden Zahlen. Die 20 und die 4 stehen schon im Text, und die Summe hängt von den beiden Zahlen ab, ist also keine eigene Unbekannte.
In der Tabelle stehen zwei Einkäufe. Mit „x = Hefte, y = Stifte“ kann man daraus Gleichungen für die Preise aufstellen.
Erklärung: Die Anzahlen stehen schon in der Tabelle. Gesucht sind die Preise; x und y müssen der Preis eines Hefts und der Preis eines Stifts (in €) sein, nicht die Sachen selbst.
3 Hefte und 2 Stifte kosten 7,10 €. Mit x = Preis eines Hefts (in €) steht y für den Preis für einen ___ (in €).
Erklärung: Für die zweite gesuchte Größe, den Preis eines Stifts, braucht man einen zweiten Buchstaben: y = Preis eines Stifts in €.
Eine Erwachsenenkarte kostet x = 5 €, eine Kinderkarte y = 3 €. Was zahlt eine Familie mit 3 Erwachsenen und 2 Kindern (in €)?
Erklärung: Die Buchstaben stehen für Preise: 3 · 5 € + 2 · 3 € = 15 € + 6 € = 21 €.
Herr Bauer zahlt für 1 Erwachsenen und 1 Kind zusammen 8 €. Welche Gleichung gehört zu seiner Rechnung (x = Preis Erwachsenenkarte, y = Preis Kinderkarte)?
Erklärung: Anzahl mal Preis, zusammengezählt, ergibt die Rechnung: 1 · x + 1 · y = 8. Ein Produkt x · y würde zwei Preise multiplizieren, und die 2 ist die Zahl der Personen, nicht die Rechnung.
Welche Gleichung gehört zum Einkauf 1 der Tabelle (x = Preis eines Hefts, y = Preis eines Stifts, beide in €)?
Erklärung: Einkauf 1 besteht aus 3 Heften und 2 Stiften: 3 · x + 2 · y = 7,10. Bei 2x + 3y wären die Anzahlen vertauscht, bei x + y fehlen sie ganz.
Ein Heft kostet x = 1,90 €, ein Stift y = 0,70 €. Berechne 3x + 2y (in €).
Erklärung: 3 · 1,90 + 2 · 0,70 = 5,70 + 1,40 = 7,10. Das ist genau die Summe, die der Einkauf 1 kostet.
3 Hefte und 2 Stifte kosten 7,10 €, ein Stift kostet 0,70 €. Wie viel kosten die 3 Hefte zusammen (in €)?
Erklärung: Zwei Stifte kosten 2 · 0,70 € = 1,40 €. Für die Hefte bleiben 7,10 € − 1,40 € = 5,70 €.
Im Kino zahlen ein Erwachsener und zwei Kinder zusammen 11 €, zwei Erwachsene und ein Kind zusammen 13 €. Lege die Unbekannten fest, stelle das Gleichungssystem auf und zeige durch die Probe in beiden Gleichungen, dass eine Erwachsenenkarte 5 € und eine Kinderkarte 3 € kostet.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: I: x + 2y = 11, II: 2x + y = 13. Einsetzen von (5 | 3): 5 + 6 = 11 und 10 + 3 = 13 – beide stimmen.
Eine Kinderkarte (y) kostet 2 € weniger als eine Erwachsenenkarte (x). Die Karten kosten 5 € und 3 €. Welche Gleichung passt?
Erklärung: Mit x = 5 und y = 3 stimmt y = x − 2, denn 5 − 2 = 3. y = x + 2 ergäbe 7, und x = y − 2 ergäbe 1: Bei „weniger“ steht das Minus bei der größeren Größe.
Ein Heft (h) kostet doppelt so viel wie ein Stift (s). Ein Heft kostet 1,60 €, ein Stift 0,80 €. Welche Gleichung passt?
Erklärung: Mit h = 1,60 und s = 0,80 stimmt h = 2s, denn 2 · 0,80 = 1,60. s = 2h ergäbe 3,20 – das Doppelte gehört zur größeren Größe. h = s + 2 ergäbe 2,80: „doppelt“ ist ein Faktor, kein Zuschlag.
Ein Erwachsener (x) zahlt 3 € mehr als ein Kind (y): x = y + ___
Erklärung: Die größere Größe x ist um 3 größer als y, also x = y + 3. Mit y = 4 wäre x = 7.
Eine Kinderkarte kostet 2 € weniger als eine Erwachsenenkarte, und zwei Erwachsenenkarten kosten zusammen 14 €. Was kostet eine Kinderkarte (in €)?
Erklärung: Eine Erwachsenenkarte kostet 14 € : 2 = 7 €, eine Kinderkarte 7 € − 2 € = 5 €.
Herr Bauer zahlt für 1 Erwachsenen und 1 Kind 8 €, Frau Weiß für 2 Erwachsene und 1 Kind 13 €. Welches Paar (x | y) aus Erwachsenen- und Kinderpreis löst das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13?
Erklärung: Bei (5 | 3) stimmen beide: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13. (4 | 4) erfüllt nur I (II ergibt 12), (6 | 1) erfüllt nur II (I ergibt 7).
Das Paar (3 | 5) löst das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13.
Erklärung: I stimmt (3 + 5 = 8), aber II nicht: 2 · 3 + 5 = 11, nicht 13. Ein Paar muss beide Gleichungen erfüllen.
Das Paar (4 | 4) wird im System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 geprüft. Berechne die linke Seite von II für x = 4 und y = 4.
Erklärung: 2 · 4 + 4 = 12. Rechts steht aber 13: II ist nicht erfüllt, also ist (4 | 4) keine Lösung.
Das Paar (5 | 3) soll das System I: x + y = 8; II: 3x − y = c lösen. Welchen Wert muss c haben?
Erklärung: I stimmt (5 + 3 = 8). In II muss die linke Seite den Wert von c ergeben: 3 · 5 − 3 = 12.