Ein System aufstellen

Setting up a system

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben

Lineare GleichungssystemeGleichungenSachaufgaben

Aus einer Sachaufgabe mit zwei gesuchten Größen wird ein lineares Gleichungssystem: die Unbekannten als Preise oder Zahlen mit Einheit festlegen, jede Angabe als eigene Gleichung schreiben, Beziehungen wie „2 € weniger“ in die richtige Richtung bringen. Eine Lösung ist ein Paar (x | y), das beide Gleichungen erfüllt; die Probe prüft beide. Die Station räumt den Buchstaben als Sache („x = Hefte“, Küchemann 1981; MacGregor & Stacey 1997), vertauschte Anzahlen und die Probe nur in einer Gleichung aus. Bereitet das Zeichnen und alle Rechenverfahren vor.

Aus dem Text zum System

In der Tabelle stehen die beiden Rechnungen. Gesucht sind zwei Zahlen: der Preis x einer Erwachsenenkarte und der Preis y einer Kinderkarte, beide in Euro. Ein Buchstabe steht also für eine Zahl mit Einheit, nicht für „Erwachsene“ als Sache. Hilfreich ist, zuerst zu klären, was schon feststeht (hier die Anzahlen der Karten) und was gesucht ist (die Preise).

Zwei Rechnungen, zwei Preise: Aus jeder Zeile wird eine Gleichung (I und II).

Jede Angabe wird eine Gleichung: Anzahl mal Preis, zusammengezählt, gleich der Rechnung. Zusammen bilden sie ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:

$I x + y = 8 II 2 x + y = 13$

Sagt der Text „ein Kind zahlt 2 € weniger“, schreibt man $y = x - 2$ und testet mit Zahlen, ob die Richtung stimmt. Typische Fehler sind vertauschte Anzahlen (2x + 3y statt 3x + 2y) und eine Rechnung, die auf die falsche Seite rutscht.

Die Probe

Eine einzelne Gleichung hat viele Lösungen: $x + y = 8$ passt zu $(4 ∣ 4)$ , zu $(5 ∣ 3)$ und zu $(0 ∣ 8)$ . Eine Lösung des Systems ist ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Ihre Menge schreibt man $L = {(5 ∣ 3)}$ .

Die Probe setzt das Paar in jede Gleichung ein. Bei (4 | 4) stimmt I (4 + 4 = 8), II aber nicht (2 · 4 + 4 = 12 ≠ 13). Bei (5 | 3) stimmen beide: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13. Jede Gleichung für sich lässt unendlich viele Paare zu; erst beide zusammen legen das Paar fest. Die Probe fängt Fehler beim Aufstellen ebenso ab wie Fehler beim Rechnen.

Stelle x und y mit den Reglern ein. Wann zeigt der erste Chip die 8 und der zweite die 13?

Ermöglicht (2)

Das Einsetzungsverfahren

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Im Kino zahlt eine Familie für 2 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten zusammen 19 €. Was legst du als x und y fest?

● x = Preis Erwachsenenkarte, y = Preis Kinderkarte
○ x = Zahl der Erwachsenen, y = Zahl der Kinder
○ x = Erwachsenenkarten, y = Kinderkarten

Gesucht sind die Preise, denn die Anzahlen (2 und 3) stehen schon im Text. Ein Buchstabe steht für eine gesuchte Zahl, nicht für die Sache „Karten“ und nicht für eine bekannte Anzahl.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Zwei Zahlen haben die Summe 20, und die eine ist um 4 größer als die andere. Was legst du als x und y fest?

● x = die größere Zahl, y = die kleinere Zahl
○ x = 20 (die Summe), y = 4 (der Unterschied)
○ x = die erste Zahl, y = die Summe

Gesucht sind die beiden Zahlen. Die 20 und die 4 stehen schon im Text, und die Summe hängt von den beiden Zahlen ab, ist also keine eigene Unbekannte.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

In der Tabelle stehen zwei Einkäufe. Mit „x = Hefte, y = Stifte“ kann man daraus Gleichungen für die Preise aufstellen.

✓ Falsch

Die Anzahlen stehen schon in der Tabelle. Gesucht sind die Preise; x und y müssen der Preis eines Hefts und der Preis eines Stifts (in €) sein, nicht die Sachen selbst.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Herr Bauer zahlt für 1 Erwachsenen und 1 Kind zusammen 8 €. Welche Gleichung gehört zu seiner Rechnung (x = Preis Erwachsenenkarte, y = Preis Kinderkarte)?

● x + y = 8
○ x · y = 8
○ x + y = 2

Anzahl mal Preis, zusammengezählt, ergibt die Rechnung: 1 · x + 1 · y = 8. Ein Produkt x · y würde zwei Preise multiplizieren, und die 2 ist die Zahl der Personen, nicht die Rechnung.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Gleichung gehört zum Einkauf 1 der Tabelle (x = Preis eines Hefts, y = Preis eines Stifts, beide in €)?

● 3x + 2y = 7,10
○ 2x + 3y = 7,10
○ x + y = 7,10

Einkauf 1 besteht aus 3 Heften und 2 Stiften: 3 · x + 2 · y = 7,10. Bei 2x + 3y wären die Anzahlen vertauscht, bei x + y fehlen sie ganz.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Eine Kinderkarte (y) kostet 2 € weniger als eine Erwachsenenkarte (x). Die Karten kosten 5 € und 3 €. Welche Gleichung passt?

● y = x − 2
○ y = x + 2
○ x = y − 2

Mit x = 5 und y = 3 stimmt y = x − 2, denn 5 − 2 = 3. y = x + 2 ergäbe 7, und x = y − 2 ergäbe 1: Bei „weniger“ steht das Minus bei der größeren Größe.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Heft (h) kostet doppelt so viel wie ein Stift (s). Ein Heft kostet 1,60 €, ein Stift 0,80 €. Welche Gleichung passt?

● h = 2s
○ s = 2h
○ h = s + 2

Mit h = 1,60 und s = 0,80 stimmt h = 2s, denn 2 · 0,80 = 1,60. s = 2h ergäbe 3,20 – das Doppelte gehört zur größeren Größe. h = s + 2 ergäbe 2,80: „doppelt“ ist ein Faktor, kein Zuschlag.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Herr Bauer zahlt für 1 Erwachsenen und 1 Kind 8 €, Frau Weiß für 2 Erwachsene und 1 Kind 13 €. Welches Paar (x | y) aus Erwachsenen- und Kinderpreis löst das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13?

● (5 | 3)
○ (4 | 4)
○ (6 | 1)

Bei (5 | 3) stimmen beide: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13. (4 | 4) erfüllt nur I (II ergibt 12), (6 | 1) erfüllt nur II (I ergibt 7).

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Das Paar (3 | 5) löst das System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13.

✓ Falsch

I stimmt (3 + 5 = 8), aber II nicht: 2 · 3 + 5 = 11, nicht 13. Ein Paar muss beide Gleichungen erfüllen.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

3 Hefte und 2 Stifte kosten 7,10 €. Mit x = Preis eines Hefts (in €) steht y für den Preis für einen ___ (in €).

✓ Antwort: Stift

Für die zweite gesuchte Größe, den Preis eines Stifts, braucht man einen zweiten Buchstaben: y = Preis eines Stifts in €.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Heft kostet x = 1,90 €, ein Stift y = 0,70 €. Berechne 3x + 2y (in €).

✓ Antwort: 7.1

3 · 1,90 + 2 · 0,70 = 5,70 + 1,40 = 7,10. Das ist genau die Summe, die der Einkauf 1 kostet.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ein Erwachsener (x) zahlt 3 € mehr als ein Kind (y): x = y + ___

✓ Antwort: 3

Die größere Größe x ist um 3 größer als y, also x = y + 3. Mit y = 4 wäre x = 7.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Das Paar (4 | 4) wird im System I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 geprüft. Berechne die linke Seite von II für x = 4 und y = 4.

✓ Antwort: 12

2 · 4 + 4 = 12. Rechts steht aber 13: II ist nicht erfüllt, also ist (4 | 4) keine Lösung.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Erwachsenenkarte kostet x = 5 €, eine Kinderkarte y = 3 €. Was zahlt eine Familie mit 3 Erwachsenen und 2 Kindern (in €)?

✓ Antwort: 21

Die Buchstaben stehen für Preise: 3 · 5 € + 2 · 3 € = 15 € + 6 € = 21 €.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

3 Hefte und 2 Stifte kosten 7,10 €, ein Stift kostet 0,70 €. Wie viel kosten die 3 Hefte zusammen (in €)?

✓ Antwort: 5.7

Zwei Stifte kosten 2 · 0,70 € = 1,40 €. Für die Hefte bleiben 7,10 € − 1,40 € = 5,70 €.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Im Kino zahlen ein Erwachsener und zwei Kinder zusammen 11 €, zwei Erwachsene und ein Kind zusammen 13 €. Lege die Unbekannten fest, stelle das Gleichungssystem auf und zeige durch die Probe in beiden Gleichungen, dass eine Erwachsenenkarte 5 € und eine Kinderkarte 3 € kostet. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x = Preis einer Erwachsenenkarte in €, y = Preis einer Kinderkarte in €. I: x + 2y = 11; II: 2x + y = 13. Probe mit (5 | 3): I: 5 + 2 · 3 = 11 ✓; II: 2 · 5 + 3 = 13 ✓. Beide Gleichungen stimmen, also kostet eine Erwachsenenkarte 5 € und eine Kinderkarte 3 €.

I: x + 2y = 11, II: 2x + y = 13. Einsetzen von (5 | 3): 5 + 6 = 11 und 10 + 3 = 13 – beide stimmen.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Eine Kinderkarte kostet 2 € weniger als eine Erwachsenenkarte, und zwei Erwachsenenkarten kosten zusammen 14 €. Was kostet eine Kinderkarte (in €)?

✓ Antwort: 5

Eine Erwachsenenkarte kostet 14 € : 2 = 7 €, eine Kinderkarte 7 € − 2 € = 5 €.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Das Paar (5 | 3) soll das System I: x + y = 8; II: 3x − y = c lösen. Welchen Wert muss c haben?

✓ Antwort: 12

I stimmt (5 + 3 = 8). In II muss die linke Seite den Wert von c ergeben: 3 · 5 − 3 = 12.