Umformungen und Verfahrenswahl
Das abgebildete System hat die Lösung (5 | 3). Welches System hat dieselbe Lösung?
Erklärung: Hier wurde I ganz mit 3 multipliziert (3x + 3y = 24), (5 | 3) erfüllt weiter beide Gleichungen. In 3x + y = 24 ist nur der x-Term verdreifacht (18 ≠24), in 3x + 3y = 8 nur die linke Seite (24 ≠8).
Ersetzt man in I: x + y = 8; II: 2x + y = 13 die Gleichung II durch II − I, so hat das neue System I: x + y = 8; II: x = 5 noch die Lösung (5 | 3).
Erklärung: II − I: (2x − x) + (y − y) = 13 − 8, also x = 5. (5 | 3) erfüllt x = 5 und weiter auch x + y = 8: Beim Abziehen bleibt I erhalten, darum bleibt die Lösung.
P(5 | 3) liegt auf der cyanen Geraden I: x + y = 8. Von den drei Gleichungen unten hat genau eine P als Lösung verloren; ihre Gerade ist orange gezeichnet. Welche ist es?
Erklärung: Die orange Gerade schneidet die y-Achse bei 4 und geht nicht durch P: In 2x + 2y = 8 wurde nur die linke Seite verdoppelt, (5 | 3) ist keine Lösung mehr, denn 10 + 6 = 16 ≠8. 2x + 2y = 16 und 3x + 3y = 24 sind ganz mit 2 bzw. 3 multipliziert und liegen auf I selbst.
Multipliziere I: x + y = 8 ganz mit 3. Welche Zahl steht dann rechts vom Gleichheitszeichen?
Erklärung: 3x + 3y = 24: Die rechte Seite wird mit 3 multipliziert, 3 · 8 = 24, sonst wäre es eine andere Gleichung.
Das System I: 2x + y = 11; II: 3x + y = 15 hat dieselbe Lösung wie das System I: 2x + y = 11; II: x = c. Wie groß ist c?
Erklärung: Man ersetzt II durch II − I: (3x − 2x) + (y − y) = 15 − 11, also x = 4. Diese Umformung erhält die Lösung, darum gilt c = 4. (Dann y = 11 − 2 · 4 = 3.)
Welches Verfahren ist beim abgebildeten System am wenigsten Aufwand?
Erklärung: In I ist y schon frei: 2x + (3x − 2) = 13 → x = 3, y = 7. Zuerst zu multiplizieren wäre ein Umweg, und Zeichnen liefert bei (3 | 7) nur mit Glück ein exaktes Paar.
Welches Verfahren ist beim abgebildeten System am wenigsten Aufwand?
Erklärung: Bei y stehen +2y und −2y: I + II gibt 8x = 16 mit einem Schritt. Einsetzen führt auf Brüche, und beim Zeichnen bleibt das Ergebnis ungenau.
Welches Verfahren ist beim abgebildeten System am wenigsten Aufwand?
Erklärung: Kein Koeffizient ist 1 oder passend: Direktes Addieren lässt nichts wegfallen, und Einsetzen führt auf Brüche. Mit 3 · I: 9x + 6y = 21 und 2 · II: 8x − 6y = −4 heben sich die y-Terme auf, 17x = 17.
Bei I: y = 2x + 1; II: y = −x + 7 kann man die rechten Seiten gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 7.
Erklärung: Beide Terme sind gleich y, also sind sie gleich. Das ist ein Sonderfall des Einsetzens: 3x = 6, x = 2, y = 5.
Gleichsetzen bei I: y = 2x + 1; II: y = −x + 7 führt auf 3x = c. Wie groß ist c?
Erklärung: 2x + 1 = −x + 7 → 2x + x = 7 − 1 → 3x = 6.
Zwei Zahlen haben die Summe 10 und die Differenz 4 (x − y = 4). Wie groß ist die größere Zahl x?
Erklärung: I: x + y = 10, II: x − y = 4. I + II: 2x = 14, also x = 7 (und y = 3).
Ein System liefert x = 5 (Erwachsenenkarte in €) und y = 3 (Kinderkarte in €). Welcher Antwortsatz ist vollständig?
Erklärung: Der Antwortsatz übersetzt x und y zurück in die Sache und nennt die Einheit. Das Paar allein bleibt im Rechenjargon, die Summe 8 € beantwortet die Frage nach den Einzelpreisen nicht.
Aus einem System für die Zahl der Fahrräder (x) und Dreiräder (y) folgt x = −3. Was schließt du daraus?
Erklärung: Eine Anzahl kann nicht −3 sein. Das Ergebnis passt nicht zur Sache, also muss beim Aufstellen oder Rechnen ein Fehler passiert sein; das Minus darf man nicht einfach streichen oder umdeuten.
Ein System für die Zahl der Mitfahrer liefert x = 2,5. Die Antwort „Es fahren 2,5 Personen mit.“ ist sinnvoll.
Erklärung: Personen kann man nicht halb zählen. Ein solches Ergebnis zeigt, dass Ansatz oder Rechnung nicht stimmen – man prüft das Ergebnis immer am Text.
Prüfe im Text: Mit x = 5 € (Erwachsene) und y = 3 € (Kinder) kosten 2 Erwachsene und 3 Kinder zusammen wie viel (in €)?
Erklärung: 2 · 5 € + 3 · 3 € = 10 € + 9 € = 19 €. Diese Textprobe kontrolliert das Ergebnis am ursprünglichen Sachverhalt.
Eine Klasse mietet 8 Boote, 2er- und 3er-Boote (x = Zahl der 2er-Boote, y = Zahl der 3er-Boote). Zusammen haben sie 20 Plätze. Wie viele 3er-Boote sind es?
Erklärung: I: x + y = 8, II: 2x + 3y = 20. Aus I: x = 8 − y; eingesetzt: 2(8 − y) + 3y = 20 → 16 + y = 20 → y = 4. Es sind 4 Boote mit 3 Plätzen (und 4 mit 2 Plätzen).
Ein Verleih hat Zweiräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 26 Rädern. Lege die Unbekannten fest, stelle das Gleichungssystem auf, löse es mit einem passenden Verfahren, prüfe das Ergebnis im Text und schreibe einen Antwortsatz.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: x + y = 10, 2x + 3y = 26 → y = 6, x = 4. Probe im Text: 10 Fahrzeuge, 8 + 18 = 26 Räder. Antwort: 4 Zweiräder und 6 Dreiräder.